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三角関数の式の値のまとめ【大学入試頻出】
ヒロ
一見，単なる三角関数の和積公式や積和公式を使って値を求める問題でも，視点を変えることで，3次方程式の解と係数を使う問題として捉えることができる。
ヒロ
また，極形式で考えることで，複素数やベクトルに関する知識も強化できる。どんどん知識をリンクさせて数学力をあげよう。
ヒロ
主に大学入試で出題される三角関数の式の値をまとめると次のようになる。
0になる有名な余弦の和（度数法）
- $\displaystyle \cos10\Deg+\cos130\Deg+\cos250\Deg=0$
- $\displaystyle
\cos10\Deg+\cos110\Deg+\cos130\Deg=0
$ - $\displaystyle
\cos10\Deg-\cos50\Deg-\cos70\Deg=0
$ - $\displaystyle
\cos20\Deg+\cos140\Deg+\cos260\Deg=0
$ - $\displaystyle
\cos20\Deg+\cos100\Deg+\cos140\Deg=0
$ - $\displaystyle
\cos20\Deg-\cos40\Deg-\cos50\Deg=0
$ - $\displaystyle
\cos40\Deg+\cos160\Deg+\cos280\Deg=0
$ - $\displaystyle
\cos40\Deg+\cos80\Deg+\cos160\Deg=0
$
0になる有名な正弦の和（度数法）
- $\displaystyle
\sin10\Deg+\sin130\Deg+\sin250\Deg=0
$ - $\displaystyle
\sin10\Deg-\sin110\Deg+\sin130\Deg=0
$ - $\displaystyle
\sin10\Deg+\sin50\Deg-\sin70\Deg=0
$ - $\displaystyle
\sin20\Deg+\sin140\Deg+\sin260\Deg=0
$ - $\displaystyle
\sin20\Deg-\sin80\Deg+\sin140\Deg=0
$ - $\displaystyle
\sin20\Deg+\sin40\Deg-\sin80\Deg=0
$ - $\displaystyle
\sin40\Deg+\sin160\Deg+\sin280\Deg=0
$ - $\displaystyle
\sin40\Deg-\sin100\Deg+\sin160\Deg=0
$ - $\displaystyle
\sin40\Deg-\sin80\Deg+\sin160\Deg=0
$
正弦・余弦の積（度数法）
- $\displaystyle
\cos20\Deg\cos40\Deg\cos80\Deg=\dfrac{1}{8}
$ - $\displaystyle
\cos40\Deg\cos80\Deg\cos160\Deg=-\dfrac{1}{8}
$ - $\displaystyle
\sin20\Deg\sin40\Deg\sin80\Deg=\dfrac{\sqrt3}{8}
$ - $\displaystyle
\sin40\Deg\sin80\Deg\sin160\Deg=\dfrac{\sqrt3}{8}
$
0になる有名な余弦の和（弧度法）
- $\displaystyle
\cos\dfrac{\pi}{18}+\cos\dfrac{13\pi}{18}+\cos\dfrac{25\pi}{18}=0
$ - $\displaystyle
\cos\dfrac{\pi}{18}+\cos\dfrac{11\pi}{18}+\cos\dfrac{13\pi}{18}=0
$ - $\displaystyle
\cos\dfrac{\pi}{18}-\cos\dfrac{5\pi}{18}-\cos\dfrac{7\pi}{18}=0
$ - $\displaystyle
\cos\dfrac{\pi}{9}+\cos\dfrac{7\pi}{9}+\cos\dfrac{13\pi}{9}=0
$ - $\displaystyle
\cos\dfrac{\pi}{9}+\cos\dfrac{5\pi}{9}+\cos\dfrac{7\pi}{9}=0
$ - $\displaystyle
\cos\dfrac{\pi}{9}-\cos\dfrac{2\pi}{9}-\cos\dfrac{5\pi}{18}=0
$ - $\displaystyle
\cos\dfrac{2\pi}{9}+\cos\dfrac{8\pi}{9}+\cos\dfrac{14\pi}{9}=0
$ - $\displaystyle
\cos\dfrac{2\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{8\pi}{9}=0
$
0になる有名な正弦の和（弧度法）
- $\displaystyle
\sin\dfrac{\pi}{18}+\sin\dfrac{13\pi}{18}+\sin\dfrac{25\pi}{18}=0
$ - $\displaystyle
\sin\dfrac{\pi}{18}-\sin\dfrac{11\pi}{18}+\sin\dfrac{13\pi}{18}=0
$ - $\displaystyle
\sin\dfrac{\pi}{18}+\sin\dfrac{5\pi}{18}-\sin\dfrac{7\pi}{18}=0
$ - $\displaystyle
\sin\dfrac{\pi}{9}+\sin\dfrac{7\pi}{9}+\sin\dfrac{13\pi}{9}=0
$ - $\displaystyle
\sin\dfrac{\pi}{9}-\sin\dfrac{4\pi}{9}+\sin\dfrac{7\pi}{9}=0
$ - $\displaystyle
\sin\dfrac{\pi}{9}+\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{4\pi}{9}=0
$ - $\displaystyle
\sin\dfrac{2\pi}{9}+\sin\dfrac{8\pi}{9}+\sin\dfrac{14\pi}{9}=0
$ - $\displaystyle
\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{5\pi}{9}+\sin\dfrac{8\pi}{9}=0
$ - $\displaystyle
\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{4\pi}{9}+\sin\dfrac{8\pi}{9}=0
$
正弦・余弦の積（弧度法）
- $\displaystyle
\cos\dfrac{\pi}{9}\cos\dfrac{2\pi}{9}\cos\dfrac{4\pi}{9}=\dfrac{1}{8}
$ - $\displaystyle
\cos\dfrac{2\pi}{9}\cos\dfrac{4\pi}{9}\cos\dfrac{8\pi}{9}=-\dfrac{1}{8}
$ - $\displaystyle
\sin\dfrac{\pi}{9}\sin\dfrac{2\pi}{9}\sin\dfrac{4\pi}{9}=\dfrac{\sqrt3}{8}
$ - $\displaystyle
\sin\dfrac{2\pi}{9}\sin\dfrac{4\pi}{9}\sin\dfrac{8\pi}{9}=\dfrac{\sqrt3}{8}
$ - $\displaystyle
\cos\dfrac{\pi}{9}\cos\dfrac{2\pi}{9}\cos\dfrac{4\pi}{9}=\dfrac{1}{8}
$ - $\displaystyle
\cos\dfrac{2\pi}{9}\cos\dfrac{4\pi}{9}\cos\dfrac{8\pi}{9}=-\dfrac{1}{8}
$ - $\displaystyle
\cos\dfrac{2\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{8\pi}{9}=0
$ - $\displaystyle
\sin\dfrac{\pi}{9}+\sin\dfrac{7\pi}{9}+\sin\dfrac{13\pi}{9}=0
$ - $\displaystyle
\sin\dfrac{\pi}{9}+\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{4\pi}{9}=0
$