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ベクトルの内積の図形的意味とは?

ベクトルの内積の図形的意味とは?数学IAIIB
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ここではベクトルの内積の図形的意味について説明していきます。

座標で扱うと面倒な点と直線の距離の公式の証明もベクトルで考えることによって,かなり計算量を減らすことができます。

この記事では,次の問題を楽に解くことが目標です。そのためにベクトルの知識を積み重ねましょう。

2013年 大阪大(文系)$xy$ 平面において,点 $(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離は
\begin{align*}
\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
である。これを証明せよ。
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ベクトルの内積の定義

ヒロ
ヒロ

点と直線の距離の公式の証明には,いくつかの方法があるが,ここではベクトルの内積を用いる証明をしていこう。

え~~!ベクトル苦手なんですけど・・・

ヒロ
ヒロ

そっか。嫌なら辞めておこうか・・・

ちょっと待って下さいよ・・・頑張ります。

ヒロ
ヒロ

ベクトルの内積を使いこなすことで,垂線の長さを求める問題や色々な問題に対して強くなれるよ?

頑張ってみます。

ヒロ
ヒロ

まずは,ベクトルの内積について復習しておこう。

ベクトルの内積$\vec{a}\neq\vec{0},\vec{b}\neq\vec{0}$ のとき,$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると
\begin{align*}
\vec{a}\Cdota\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\bigl|\,\vec{b}\,\bigr|\cos\theta
\end{align*}

定義は大丈夫です。

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