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ベクトルの内積の図形的意味とは?

ベクトルの内積の図形的意味とは?数学IAIIB
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ここではベクトルの内積の図形的意味について説明していきます。

座標で扱うと面倒な点と直線の距離の公式の証明もベクトルで考えることによって,かなり計算量を減らすことができます。

この記事では,次の問題を楽に解くことが目標です。そのためにベクトルの知識を積み重ねましょう。

2013年 大阪大(文系)$xy$ 平面において,点 $(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離は
\begin{align*}
\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
である。これを証明せよ。
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ベクトルの内積の定義

ヒロ
ヒロ

点と直線の距離の公式の証明には,いくつかの方法があるが,ここではベクトルの内積を用いる証明をしていこう。

え~~!ベクトル苦手なんですけど・・・

ヒロ
ヒロ

そっか。嫌なら辞めておこうか・・・

ちょっと待って下さいよ・・・頑張ります。

ヒロ
ヒロ

ベクトルの内積を使いこなすことで,垂線の長さを求める問題や色々な問題に対して強くなれるよ?

頑張ってみます。

ヒロ
ヒロ

まずは,ベクトルの内積について復習しておこう。

ベクトルの内積$\vec{a}\neq\vec{0},\vec{b}\neq\vec{0}$ のとき,$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると
\begin{align*}
\vec{a}\Cdota\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\bigl|\,\vec{b}\,\bigr|\cos\theta
\end{align*}

定義は大丈夫です。

ベクトルの内積の図形的意味

ヒロ
ヒロ

次に,内積の図形的意味を理解しよう。

はい,お願いします。

ヒロ
ヒロ

OA をスクリーンとして,スクリーンに垂直な光を当てる状態を考えよう。

下図のように,スクリーン上にできる OB の影は OH である。

内積の図形的意味 鋭角
ベクトルの内積の図形的意味 鈍角

物体に光を当てたときにスクリーン上にできる影のことを射影という。特に,スクリーンに垂直な光を当てたときにできる影のことを正射影という。$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ を $\vec{b}$ の $\vec{a}$ への正射影ベクトルという。
ヒロ
ヒロ

ここで,影である OH の長さを考えよう。

\begin{align*}
\begin{cases}
\theta が鋭角のとき,\mathrm{OH}=|\vec{b}|\cos\theta \\[4pt]
\theta が鈍角のとき,\mathrm{OH}=-|\vec{b}|\cos\theta
\end{cases}
\end{align*}
これを1つにまとめると,
\begin{align*}
\mathrm{OH}=|\vec{b}||\cos\theta|
\end{align*}
となる。

正のときはそのまま,負のときは $-1$ 倍にするのは絶対値の性質ですね!

ヒロ
ヒロ

絶対値を使うことで場合分けしなくて済むんだ。

ヒロ
ヒロ

ということで,正射影のことを単に影ということにすると,ベクトルの内積の絶対値は次のようになる。

\begin{align*}
\bigl|\vec{a}\Cdota\vec{b}\bigr|&=|\,\vec{a}\,|\bigl|\,\vec{b}\,\bigr||\cos\theta| \\[4pt]
&=\mathrm{OA}\times\mathrm{OH} \\[4pt]
&=(スクリーン)\times(影)
\end{align*}

これが何の役に立つのか分からない・・・

ヒロ
ヒロ

不安そうだね。これから具体的な使い方を説明していくから大丈夫だよ。

正射影ベクトル

ヒロ
ヒロ

さっきの図において,$\Vec{OH}$ を $\vec{a},~\vec{b}$ で表したい場合は次のようにしよう。

$\abs{\vec{a}\Cdot\vec{b}}=\abs{\vec{a}}|\Vec{OH}|$ より
\begin{align*}
\Bigl|\Vec{OH}\Bigr|=\dfrac{\abs{\vec{a}\Cdot\vec{b}}}{\abs{\vec{a}}}
\end{align*}
ここで,分子の絶対値記号を外すと,OHの符号付き長さになるから,正射影ベクトル $\Vec{OH}$ は
\begin{align*}
\Vec{OH}&=\dfrac{\vec{a}\Cdot\vec{b}}{\abs{\vec{a}}}\cdot\dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}} \\[4pt]
&=\dfrac{\vec{a}\Cdot\vec{b}}{\abs{\vec{a}}^2}\vec{a}
\end{align*}
と表すことができる。また,これより
\begin{align*}
\Vec{BH}&=\Vec{OH}-\Vec{OB} \\[4pt]
&=\dfrac{\vec{a}\Cdot\vec{b}}{\abs{\vec{a}}^2}\vec{a}-\vec{b}
\end{align*}
となるから,OAに垂直な方向のベクトルも,$\vec{a}$ と $\vec{b}$ で簡単に表すことができる。

点と直線の距離の公式の証明

ヒロ
ヒロ

それでは,ベクトルの内積の図形的意味を考えることで,点と直線の距離の公式の証明をしていくよ。

はい,お願いします!

下図のように,直線 $\ell:ax+by+c=0$ と点 $\mathrm{P}(x_0,y_0)$ との距離を $d$ とする。

 

点と直線との距離

直線 $\ell$ の単位法線ベクトルを $\vec{n}$ とする。$|\vec{n}|=1$ であるから,$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ と $\vec{n}$ の内積の図形的意味を考えると,$d=\left|\vec{n}\Cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$ となる。

直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトル $\vec{n}$ は,$\vec{n}=(a,b)$ と表される。

光をどう当ててるのか分かりません。

ヒロ
ヒロ

照明を用意したよ。

PH と平行な直線AH$’$ を考え,スクリーンを直線 AH$’$ 上の $\vec{n}$ であると考える。
点と直線の距離 正射影

 

$\vec{n}$ をスクリーンとして,スクリーンに垂直な光を当てると,スクリーンからはみ出るけど,AP の影が AH$’$ となる。よって,$\left|\vec{n}\Cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|
=|\vec{n}|\times\mathrm{AH}’$

$\mathrm{AH}’=\mathrm{HP}=d,|\vec{n}|=1$ より,$d=\left|\vec{n}\Cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$

なるほど!分かりました。

ヒロ
ヒロ

では,具体的に $d$ を求めていくよ。

直線 $\ell$ 上の点 A の座標を $(p,q)$ とすると,$ap+bq+c=0\ \cdots$ ①が成り立ち,$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(x_0-p,y_0-q)$ となる。また,$\displaystyle\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(a,b)$ であるから,
\begin{align*}
d&=\left|\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(a,b)\Cdota(x_0-p,y_0-q)\right| \\[4pt]&=\frac{|a(x_0-p)+b(y_0-q)|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\[4pt]&=\frac{|ax_0+by_0-(ap+bq)|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
ここで,①より,$ap+bq=-c$ であるから,
\begin{align*}
d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}

ベクトルで考えると計算が楽になりますね!

ヒロ
ヒロ

内積の図形的意味は色々な問題で利用できるから,使いこなせるようにしよう!

ベクトルの内積の図形的意味についてのまとめ

ヒロ
ヒロ

今回は平面上にある点と直線の距離の問題を扱ったけど,内積自体は空間でも同様に考えることができるため,点と平面の距離を知りたいときなどにも応用できるよ。

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