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微分接触型の積分問題では置換しないで積分しよう

微分接触型の積分問題では置換しないで微分しよう数学III
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微分接触型と呼ばれる積分問題では,置換しないで積分できるようにした方が良いです。

まず微分接触型とはどのような形のことかを説明しておきます。

【微分接触型とは】
2つの関数 $f(x),~g(x)$ に対して,合成関数 $f(g(x))$ を考える。このとき,この合成関数と内側の関数の導関数 $g'(x)$ との積で表された
\begin{align*}
g'(x)f(g(x))
\end{align*}
を微分接触型と呼ぶことにする。$f(x)$ の原始関数を $F(x)$ とし,$y=F(g(x))$ とおくと
\begin{align*}
y’=f(g(x))g'(x)
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
\dint{}{}g'(x)f(g(x))dx=F(g(x))+C
\end{align*}
となる。

どのように考えれば,微分接触型の積分問題を置換せずに積分することができるのかを,具体的な問題を例に挙げて解説していきます。

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