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微分接触型の積分問題では置換しないで積分しよう

微分接触型の積分問題では置換しないで微分しよう数学III

微分接触型と呼ばれる積分問題では,置換しないで積分できるようにした方が良いです。

まず微分接触型とはどのような形のことかを説明しておきます。

【微分接触型とは】
2つの関数 $f(x),~g(x)$ に対して,合成関数 $f(g(x))$ を考える。このとき,この合成関数とその中身の関数の導関数 $g'(x)$ との積で表された
\begin{align*}
g'(x)f(g(x))
\end{align*}
を微分接触型と呼ぶことにする。$f(x)$ の原始関数を $F(x)$ とし,$y=F(g(x))$ とおくと
\begin{align*}
y’=f(g(x))g'(x)
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
\dint{}{}g'(x)f(g(x))dx=F(g(x))+C
\end{align*}
となる。

どのように考えれば,微分接触型の積分問題を置換せずに積分することができるのかを,具体的な問題を例に挙げて解説していきます。

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積分問題1

ヒロ
ヒロ

まずは比較的簡単な問題からやっていこう。

問題1(1) $\dint{}{}2x(x^2+1)^3dx$
(2) $\dint{}{}x\sqrt{2x^2+1}dx$
(3) $\dint{}{}xe^{x^2}dx$

プリントを次のリンクからダウンロードできます。

(1)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

$(x^2+1)^3$ がどのような2つの関数の合成関数になっているかを考えよう。

【(1)の考え方と解答】
$f(x)=x^3$, $g(x)=x^2+1$ とすると
\begin{align*}
(x^2+1)^3=f(g(x))
\end{align*}
と表すことができる。また
\begin{align*}
g'(x)=2x
\end{align*}
であるから,被積分関数は $g'(x)f(g(x))$ となり微分接触型になっていることが分かる。
$f(x)$ の不定積分の1つは $\dfrac{1}{4}x^4$ であるから,
\begin{align*}
\dint{}{}2x(x^2+1)^3dx=\dfrac{1}{4}(x^2+1)^4+C
\end{align*}
となる。

(2)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

$\sqrt{2x^2+1}$ が合成関数になってるね。

【(2)の考え方と解答】
$f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=2x^2+1$ とすると
\begin{align*}
\sqrt{2x^2+1}=f(g(x))
\end{align*}
と表すことができる。また
\begin{align*}
g'(x)=4x
\end{align*}
となる。ここで,係数に4が現れるが「4で割るんだな」と思えばOK!
あとは $\sqrt{x}$ の不定積分の1つが $\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$ となることを考えて
\begin{align*}
&\dint{}{}x\sqrt{2x^2+1}dx \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}\times\dfrac{1}{4}+C \\[4pt]
&=\dfrac{1}{6}(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}+C
\end{align*}

(3)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

次は指数関数の微分接触型の積分問題。

【(3)の考え方と解答】
$f(x)=e^x$, $g(x)=x^2$ とすると
\begin{align*}
e^{x^2}=f(g(x))
\end{align*}
と表すことができる。また
\begin{align*}
g'(x)=2x
\end{align*}
となるから,係数の2で割れば良いことが分かる。
あとは $e^x$ の不定積分の1つが $e^x$ となることを考えると,
求める不定積分は次のようになる。
\begin{align*}
\dint{}{}xe^{x^2}dx&=\dfrac{1}{2}xe^{x^2}+C
\end{align*}

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