休校だからこそ重要な自宅学習

【数学Ⅰ】定期テストに出題される因数分解の問題 part2

定期テスト対策 因数分解数学IAIIB
スポンサーリンク

数学Ⅰで学習する因数分解は,高校数学の中でも特に重要な単元です。

うまく因数分解できないと解ける問題も解けなくなってしまいます。

因数分解の問題は,単独では大学入試にそれほど出題されるわけではないですが,しっかりできるようにしていきましょう。

ということで前回に引き続き,定期テストによく出題される因数分解の問題を解説していきます。

スポンサーリンク

定期テストで実際に出題された因数分解の問題

ヒロ
ヒロ

高校1年の1学期中間テストに実際に出題された因数分解の問題を解いていこう。

因数分解の問題1

因数分解の問題1(1) $x^4+4$
(2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-9$
(3) 
$\displaystyle a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc $
(4) $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$
ヒロ
ヒロ

(1)は複二次式の因数分解の手順にしたがって考えよう。

ヒロ
ヒロ

$x^2=t$ とおいても $t^2+4$ となって因数分解できないから,2乗の差 $(x^2+a)^2-\bigcirc^2$ を作る問題だと分かる。

ヒロ
ヒロ

$x^2$ の係数が0だから $a$ を正の数とすればうまくいくはず。

【(1)の解答】
\begin{align*}
&x^4+4 \\[4pt]&=(x^2+2)^2-4x^2 \\[4pt]&=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)
\end{align*}

(2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-9$

ヒロ
ヒロ

(2)は定数項の $-9$ が邪魔だね。なかったら問題にならないけどね・・・

ヒロ
ヒロ

とりあえず式を整理しようとして,全部を展開してしまうと因数分解できなくなる人もいるので注意しよう。

ヒロ
ヒロ

展開することが目的ではないため,同じカタマリが現れるようにうまく展開することが重要。

同じカタマリを作る方法定数項に着目して,和か積が等しくなる組み合わせを見つける。
【(2)の考え方と解答】
4つの括弧の定数項が $-1,~-3,~-5,~-7$ だから,和か積が等しくなるものを考えると,和が $-8$ になる組み合わせが見つかる。
\begin{align*}
&(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-9 \\[4pt]&=(x-1)(x-7)\times(x-3)(x-5)-9 \\[4pt]&=(x^2-8x+7)(x^2-8x+15)-9
\end{align*}
同じカタマリ $x^2-8x$ が現れたね。そのカタマリを崩さないように展開しよう。
慣れていない人は $x^2-8x=t$ のように文字で置き換えて展開しよう。
\begin{align*}
(与式)&=(x^2-8x)^2+22(x^2-8x)+96 \\[4pt]&=(x^2-8x+16)(x^2-8x+6) \\[4pt]&=(x-4)^2(x^2-8x+6)
\end{align*}

(3)

$\displaystyle a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc $

ヒロ
ヒロ

因数分解の基本は1つの文字に着目することだね。

ヒロ
ヒロ

どの文字でも最高次数は2だから,$a$ に着目して考えよう。

【(3)の解答】
\begin{align*}
&a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc \\[4pt]&=(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)a+b^2c+bc^2
\end{align*}
このあとは,主に2通りに分かれる。
  • 各項を因数分解すると共通因数が現れる
  • 全体でたすきがけ

今回は各項を因数分解してみると共通因数が現れることが分かる。

\begin{align*}
(与式)&=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c) \\[4pt]&=(b+c)\{a^2+(b+c)a+bc\} \\[4pt]&=(b+c)(a+b)(a+c) \\[4pt]&=(a+b)(b+c)(c+a)
\end{align*}

ヒロ
ヒロ

最後に順序を変えてるのは「輪環の順」にしている。

輪環の順$a\to b\to c\to a$ のようなぐるっとまわることを意識した書き方。
ヒロ
ヒロ

こんな書き方もあるということを知っておこう。

(4) $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

ヒロ
ヒロ

(4)は(3)と同じように $a$ に着目して因数分解しよう。

【(4)の考え方と解答】
全部バラバラに展開してしまうのではなく,$a^2$ の項,$a$ の項,定数項を取り出してまとめよう。
\begin{align*}
&a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) \\[4pt]&=(b-c)a^2+(-b^2+c^2)a+b^2c-bc^2 \\[4pt]&=(b-c)a^2-(b+c)(b-c)a+bc(b-c) \\[4pt]&=(b-c)\{a^2-(b+c)a+bc\} \\[4pt]&=(b-c)(a-b)(a-c) \\[4pt]&=-(a-b)(b-c)(c-a)
\end{align*}

因数分解の問題2

因数分解の問題2(1) $x^4-9x^2+16$
(2)
$\displaystyle a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+8abc $
(3)
$\displaystyle ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc $
(4)
$\displaystyle x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+3xyz $
ヒロ
ヒロ

(1)は複二次式の因数分解だね。

【(1)の考え方と解答】
$x^2=t$ とおくと
\begin{align*}
(与式)=t^2-9t+16
\end{align*}
となりうまくいかないから,2乗の差 $(x^2+a)^2-\bigcirc^2$ を考える。$x^2$ の係数が負だから $a$ は正と負の両方があり得る。正から試してみよう。
\begin{align*}
&x^4-9x^2+16 \\[4pt]&=(x^2+4)^2-17x^2
\end{align*}
係数が有理数にならないから,$a$ が負の場合を考える。
\begin{align*}
&x^4-9x^2+16 \\[4pt]&=(x^2-4)^2-x^2 \\[4pt]&=(x^2+x-4)(x^2+x-4)
\end{align*}

(2)

$\displaystyle a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+8abc $

ヒロ
ヒロ

(2)は $a$ に着目して因数分解しよう。

【(2)の考え方と解答】
これも全部バラバラに展開してから,同類項をまとめるのではなく,適宜同類項をまとめることができるようになろう。
\begin{align*}
&a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+8abc \\[4pt]&=(b+c)a^2+\{(b-c)^2-2bc-2bc+8bc\}a+bc^2+b^2c \\[4pt]&=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c) \\[4pt]&=(b+c)\{a^2+(b+c)a+bc\} \\[4pt]&=(a+b)(b+c)(c+a)
\end{align*}

(3)

$\displaystyle ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc $

ヒロ
ヒロ

どの文字の最高次数も等しいから $a$ に着目して整理しよう。

【(3)の解答】
\begin{align*}
&ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc \\[4pt]&=(b-c)a^2+(b^2-2c^2-3bc)a-2bc(b-c) \\[4pt]&=(b-c)a^2+(b-c)(b-2c)a-2bc(b-c) \\[4pt]&=(b-c)\{a^2+(b-2c)a-2bc\} \\[4pt]&=(b-c)(a+b)(a-2c)
\end{align*}

(4)

$\displaystyle x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+3xyz $

ヒロ
ヒロ

$x$ に着目して因数分解しよう。

【(4)の解答】
\begin{align*}
&x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+3xyz \\[4pt]&=(y+z)x^2+(y^2+z^2+3yz)x+yz(y+z) \\[4pt]&=(x+y+z)\{(y+z)x+yz\} \\[4pt]&=(x+y+z)(xy+yz+zx)
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(4)は(2)や(3)とは違って,全体でたすきがけする問題だったね。

タイトルとURLをコピーしました