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カージオイド曲線(媒介変数表示・弧長・面積・体積)

カージオイド曲線数学III
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ある円に外接しながら半径が等しい円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡をカージオイドといいます。グラフの概形は次のようになります。
カージオイド曲線
カージオイド曲線の媒介変数表示,曲線の描画,面積,曲線の長さ,回転体の体積について知っておきましょう。

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カージオイド曲線の媒介変数表示

ヒロ
ヒロ

カージオイド上の点 $\mathrm{P}(x,~y)$ の媒介変数表示を導こう。

点 $\mathrm{C}\left(\dfrac{1}{2}a,~0\right)$ を中心とする半径 $\dfrac12a$ の円を $C$ とし,点 $\mathrm{D}_1\left(\dfrac{3}{2}a,~0\right)$ を中心とする半径 $\dfrac12a$ の円を $D$ とする。また,点A,B の座標をそれぞれ $(2a,~0)$,$(a,~0)$ とする。円 $D$ が円 $C$ に外接しながら滑らずに転がり,点 $\mathrm{D}_1$ が $\mathrm{D}_2$ まできたとき,$\kaku{D_1CD_2}=\theta$ とし,接点を $\mathrm{B}_1$ とする。
カージオイド曲線 媒介変数表示
このとき,点Bは点Qの位置にあり,$\ko{\mathrm{BB_1}}=\ko{\mathrm{QB_1}}$ となるから,$\kaku{B_1D_2Q}=\theta$ である。また,点Aは点Pの位置にあることが分かるから,$\mathrm{D_2P}$ と $x$ 軸の正の方向となす角は $2\theta$ となる。
\begin{align*}
\Vec{OP}=\Vec{OC}+\Vec{CD_2}+\Vec{D_2P}
\end{align*}
であるから,点Pの座標を $(x,~y)$ とすると
\begin{align*}
(x,~y)&=\left(\dfrac{1}{2}a,~0\right)+(a\cos\theta,~a\sin\theta)+\left(\dfrac{1}{2}a\cos2\theta,~\dfrac{1}{2}a\sin2\theta\right) \\[4pt]
&=\left(\dfrac{1}{2}a+a\cos\theta+\dfrac{1}{2}a(2\cos^2\theta-1),~a\sin\theta+a\sin\theta\cos\theta\right) \\[4pt]
&=(a\cos\theta(1+\cos\theta),~a\sin\theta(1+\cos\theta))
\end{align*}
よって
\begin{align*}
\begin{cases}
x=a\cos\theta(1+\cos\theta) \\[4pt]
y=a\sin\theta(1+\cos\theta)
\end{cases}
\end{align*}

カージオイド曲線の描画

ヒロ
ヒロ

媒介変数表示された関数のグラフを描こう。

$\displaystyle
f(\theta)=a\cos\theta(1+\cos\theta),~g(\theta)=a\sin\theta(1+\cos\theta)
$
とおく。
\begin{align*}
f(2\pi-\theta)&=a\cos(2\pi-\theta)\{1+\cos(2\pi-\theta)\} \\[4pt]
&=a\cos\theta(1+\cos\theta) \\[4pt]
&=f(\theta) \\[4pt]
g(2\pi-\theta)&=a\sin(2\pi-\theta)\{1+\cos(2\pi-\theta)\} \\[4pt]
&=-a\sin\theta(1+\cos\theta) \\[4pt]
&=-g(\theta)
\end{align*}
となるから,$0\leqq\theta\leqq\pi$ の部分と $\pi\leqq\theta\leqq2\pi$ の部分は $x$ 軸に関して対称である。
したがって,$0\leqq\theta\leqq\pi$ において考える。
$\begin{cases}
x=a\cos\theta(1+\cos\theta) \\[4pt]
y=a\sin\theta(1+\cos\theta)
\end{cases}$より,
\begin{align*}
\dfrac{dx}{d\theta}&=a(-\sin\theta-2\cos\theta\sin\theta) \\[4pt]
&=-a(\sin\theta+\sin2\theta) \\[4pt]
\dfrac{dy}{d\theta}&=a(\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta) \\[4pt]
&=a(\cos\theta+\cos2\theta)
\end{align*}
$\dfrac{dx}{d\theta}=0$ とすると,
\begin{align*}
&\sin\theta+\sin2\theta=0 \\[4pt]
&\sin\theta(1+2\cos\theta)=0 \\[4pt]
&\sin\theta=0~~または~\cos\theta=-\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&\theta=0,~\dfrac23\pi,~\pi
\end{align*}
$\dfrac{dy}{d\theta}=0$ とすると,
\begin{align*}
&\cos\theta+\cos2\theta=0 \\[4pt]
&2\cos^2\theta+\cos\theta-1=0 \\[4pt]
&(\cos\theta+1)(2\cos\theta-1)=0 \\[4pt]
&\cos\theta=-1,~\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&\theta=\dfrac{\pi}{3},~\pi
\end{align*}
よって,増減は次のようになる。
\begin{align*}
\def\arraystretch{1.3}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\theta & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{3} & \cdots &
\dfrac23\pi & \cdots & \pi \\\hline
\dfrac{dx}{d\theta} & 0 & – & – & – & 0 & + & 0 \\\hline
\dfrac{dy}{d\theta} & 0 & + & 0 & – & – & – & 0 \\\hline
(x,~y) & (2a,~0) & \nwarrow  & \left(\dfrac34a,~\dfrac{3\sqrt3}{4}a\right)
& \swarrow & \left(-\dfrac{a}{4},~\dfrac{\sqrt3}{4}a\right) & \searrow & (0,~0) \\\hline
\end{array}
\end{align*}
よって,カージオイドのグラフは図のようになる。
カージオイド曲線

カージオイド曲線の極方程式

ヒロ
ヒロ

カージオイド曲線の媒介変数表示から極方程式を導こう。

$\kaku{OCD_2}=\kaku{PD_2C}$ で $\mathrm{OC}=\mathrm{D_2P}$ であるから,四角形 $\mathrm{OCD_2P}$ は等脚台形である。よって,$\kaku{AOP}=\theta$ である。
カージオイド曲線 極方程式
$\begin{cases}
x=a\cos\theta(1+\cos\theta) \\[4pt]
y=a\sin\theta(1+\cos\theta)
\end{cases}$ より,
\begin{align*}
r&=\sqrt{x^2+y^2} \\[4pt]
&=\sqrt{a^2\cos^2\theta(1+\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta(1+\cos\theta)^2} \\[4pt]
&=\sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2} \\[4pt]
&=\abs{a(1+\cos\theta)}
\end{align*}
$a>0$, $1+\cos\theta\geqq0$ より
\begin{align*}
r=a(1+\cos\theta)
\end{align*}

カージオイド曲線で囲まれる部分の面積

ヒロ
ヒロ

カージオイド曲線で囲まれる部分の面積 $S$ を求めよう。

斜線部分の面積の2倍が $S$ である。
カージオイド曲線 面積 体積
凹んでいる部分があるため,次の2つの図で色を付けた部分の面積の差をとって $S$ を求めよう。
カージオイド曲線 面積 体積
カージオイド曲線 面積 体積
$0\leqq\theta\leqq\dfrac23\pi$ のときの $y$ を $y_1$,$\dfrac23\pi\leqq\theta\leqq\pi$ のときの $y$ を $y_2$ とすると,
\begin{align*}
&({\color{red}赤色}部分の面積)=\dint{-\frac14a}{2a}y_1\;dx=\dint{\frac23\pi}{0}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta \\[4pt]
&({\color{blue}青色}部分の面積)=\dint{-\frac14a}{0}y_2\;dx=\dint{\frac23\pi}{\pi}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta
\end{align*}
と表すことができる。よって,求める面積 $S$ は,
\begin{align*}
S&=2\left(\dint{\frac23\pi}{0}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta
-\dint{\frac23\pi}{\pi}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta\right) \\
&=2\dint{\pi}{0}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta \\
&=2\dint{\pi}{0}a\sin\theta(1+\cos\theta)\Cdota a(-\sin\theta-2\cos\theta\sin\theta)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\sin^2\theta(1+\cos\theta)(1+2\cos\theta)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\sin^2\theta(2\cos^2\theta+3\cos\theta+1)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\left(\dfrac12\sin^22\theta
+3\sin^2\theta\cos\theta+\sin^2\theta\right)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\left(\dfrac{1-\cos4\theta}{4}+3\sin^2\theta\cos\theta
+\dfrac{1-\cos2\theta}{2}\right)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\left(3\sin^2\theta\cos\theta
-\dfrac14\cos4\theta-\dfrac12\cos2\theta+\dfrac34\right)\;d\theta \\
&=2a^2\Tint{\sin^3\theta-\dfrac{1}{16}\sin4\theta
-\dfrac14\sin2\theta+\dfrac34\theta}{0}{\pi} \\
&=\dfrac32\pi a^2
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

極方程式が与えられている場合は,次の公式を利用しよう。

極方程式と面積

極方程式 $r=f(\theta)$ で表される曲線と2直線 $\theta=\alpha$, $\theta=\beta$ で囲まれる部分の面積を $S$ とすると

\begin{align*}
S=\dint{\alpha}{\beta}\dfrac{1}{2}\{f(\theta)\}^2\;d\theta
\end{align*}

$f(\theta)=a(1+\cos\theta)$ より
\begin{align*}
S&=2\dint{0}{\pi}\dfrac{1}{2}a^2(1+\cos\theta)^2\;d\theta \\[4pt]
&=a^2\dint{0}{\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)\;d\theta \\[4pt]
&=a^2\dint{0}{\pi}\left(1+2\cos\theta+\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\right)\;d\theta \\[4pt]
&=a^2\Tint{\dfrac{3}{2}\theta+2\sin\theta+\dfrac{1}{4}\sin2\theta}{0}{\pi} \\[4pt]
&=\dfrac{3}{2}\pi a^2
\end{align*}

カージオイド曲線の長さ

ヒロ
ヒロ

カージオイド曲線の長さを求めよう。

ヒロ
ヒロ

面積のときと同様に,$0\leqq\theta\leqq\pi$ の部分の長さを求めて2倍すればよい。

$\dfrac{dx}{d\theta},~\dfrac{dy}{d\theta}$ は
\begin{align*}
\begin{cases}
\dfrac{dx}{d\theta}=-a\sin\theta(1+2\cos\theta) \\[4pt]
\dfrac{dy}{d\theta}=a(\cos\theta+1)(2\cos\theta-1)
\end{cases}
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
&\sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2} \\[4pt]
&=\sqrt{a^2(\sin\theta+\sin2\theta)^2+a^2(\cos\theta+\cos2\theta)^2} \\[4pt]
&=a\sqrt{(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+(\sin^22\theta+\cos^22\theta)+2(\cos2\theta\cos\theta+\sin2\theta\sin\theta)} \\[4pt]
&=a\sqrt{2(1+\cos\theta)} \\[4pt]
&=a\sqrt{4\cos^2\dfrac{\theta}{2}} \\[4pt]
&=2a\abs{\cos\dfrac{\theta}{2}}
\end{align*}
$0\leqq \theta\leqq\pi$ のとき,$0\leqq\dfrac{\theta}{2}\leqq\dfrac{\pi}{2}$ であるから,$\cos\dfrac{\theta}{2}\geqq0$
よって
\begin{align*}
\sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}=2a\cos\dfrac{\theta}{2}
\end{align*}
したがって,求めるカージオイド曲線の長さを $L$ とすると
\begin{align*}
L&=2\dint{0}{\pi}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}\;d\theta \\[4pt]
&=2\dint{0}{\pi}2a\cos\dfrac{\theta}{2}\;d\theta \\[4pt]
&=8a\Tint{\sin\dfrac{\theta}{2}}{0}{\pi} \\[4pt]
&=8a
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

極方程式が与えられた問題では,計算が大変なので次のようにしよう。

$\dfrac{dr}{d\theta}=r’$ と書くことにすると,$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ より
\begin{align*}
\begin{cases}
\dfrac{dx}{d\theta}=r’\cos\theta-r\sin\theta \\[4pt]
\dfrac{dy}{d\theta}=r’\sin\theta+r\cos\theta
\end{cases}
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
&\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2 \\[4pt]
&=(r’\cos\theta-r\sin\theta)^2+(r’\sin\theta+r\cos\theta)^2 \\[4pt]
&=(r’)^2+r^2
\end{align*}
$r=a(1+\cos\theta)$ より $r’=-a\sin\theta$ であるから
\begin{align*}
&\sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2} \\[4pt]
&=\sqrt{(-a\sin\theta)^2+a^2(1+\cos\theta)^2} \\[4pt]
&=\sqrt{2a^2(1+\cos^2\theta)} \\[4pt]
&=\sqrt{4a^2\cos^2\dfrac{\theta}{2}} \\[4pt]
&=2a\cos\dfrac{\theta}{2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

積分計算は上と同じである。

カージオイド曲線の回転体の体積

ヒロ
ヒロ

カージオイド曲線で囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求めよう。

求める体積は $0\leqq\theta\leqq\dfrac23\pi$ の部分(赤線)を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積から,$\dfrac23\pi\leqq\theta\leqq\pi$ の部分(青線)を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を引いたものである。
カージオイド曲線 面積 体積
\begin{align*}
V&=\dint{-\frac14a}{2a}\pi{y_1}^2\;dx-\dint{-\frac14a}{0}\pi{y_2}^2\;dx \\
&=\dint{\frac23\pi}{0}\pi y^2\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta
-\dint{\frac23\pi}{\pi}\pi y^2\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta \\
&=\dint{\pi}{0}\pi y^2\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta \\
&=\pi\dint{\pi}{0}a^2\sin^2\theta(1+\cos\theta)^2\cdot
a(-\sin\theta-2\cos\theta\sin\theta)\;d\theta \\
&=\pi a^3\dint{0}{\pi}\sin^3\theta(1+\cos\theta)^2(1+2\cos\theta)\;d\theta \\
&=\pi a^3\dint{0}{\pi}(1-\cos^2\theta)(1+\cos\theta)^2(1+2\cos\theta)\sin\theta\;d\theta \\
&=\pi a^3\dint{0}{\pi}(2\cos^5\theta+5\cos^4\theta+2\cos^3\theta-4\cos^2\theta
-4\cos\theta-1)(\cos\theta)’\;d\theta \\
&=\pi a^3\Tint{\dfrac13\cos^6\theta+\cos^5\theta+\dfrac12\cos^4\theta
-\dfrac43\cos^3\theta-2\cos^2\theta-\cos\theta}{0}{\pi} \\
&=\pi a^3\left\{\dfrac{1-1}{3}+(-1-1)+\dfrac{1-1}{2}-\dfrac43(-1-1)-2(1-1)-(-1-1)\right\} \\
&=\dfrac83\pi a^3
\end{align*}
極方程式と体積

極方程式 $r=f(\theta)$ で表される曲線と2直線 $\theta=\alpha$, $\theta=\beta$ で囲まれる部分を始線のまわりに1回転して得られる立体の体積を $V$ とすると

\begin{align*}
V=\dint{\alpha}{\beta}\dfrac{2}{3}\pi\{f(\theta)\}^3\sin\theta\;d\theta
\end{align*}

ヒロ
ヒロ

この公式を使って,体積 $V$ を求めてみよう。

$f(\theta)=a(1+\cos\theta)$ より
\begin{align*}
V&=\dint{0}{\pi}\dfrac{2}{3}\pi a^3(1+\cos\theta)^3\sin\theta\;d\theta \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}\pi a^3\dint{0}{\pi}(1+3\cos\theta+3\cos^2\theta+\cos^3\theta)\sin\theta\;d\theta \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}\pi a^3\Tint{-\cos\theta-\dfrac{3}{2}\cos^2\theta-\cos^3\theta-\dfrac{1}{4}\cos^4\theta}{0}{\pi} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}\pi a^3\left\{2-\dfrac{3}{2}(1-1)-(-1-1)-\dfrac{1}{4}(1-1)\right\} \\[4pt]
&=\dfrac{8}{3}\pi a^3
\end{align*}

まとめ

ヒロ
ヒロ

カージオイド曲線についてまとめると次のようになる。

カージオイド曲線
  1. グラフの概形
    カージオイド曲線
  2. 媒介変数表示
    \begin{align*}
    x=a\cos\theta(1+\cos\theta),~~y=a\sin\theta(1+\cos\theta)
    \end{align*}
  3. 極方程式
    \begin{align*}
    r=a(1+\cos\theta)
    \end{align*}
  4. 面積
    \begin{align*}
    S=\dfrac{3}{2}\pi a^2
    \end{align*}
  5. 曲線の長さ
    \begin{align*}
    L=8a
    \end{align*}
  6. 回転体の体積
    \begin{align*}
    V=\dfrac{8}{3}\pi a^3
    \end{align*}
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