Contents
2015年 明治薬科大
ヒロ
もう1問解いてみよう。
2015年 明治薬科大$\sin2\theta-\sin4\theta=f(3\theta)\times\sin\theta$ を満たす $f(3\theta)$ は $f(3\theta)=\myBox{(a)}$ である。この関係を用いると，
\begin{align*}
\sin\dfrac{\pi}{9}+\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{4\pi}{9}=\myBox{(b)}
\end{align*}
となる。\sin\dfrac{\pi}{9}+\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{4\pi}{9}=\myBox{(b)}
\end{align*}
(a)は $\sin2\theta-\sin4\theta$ を変形したときに $3\theta$ が出てくるようにするには，和積公式を使えばよさそうです。
【(a)の解答】
\begin{align*}
\sin2\theta-\sin4\theta&=2\cos3\theta\sin(-\theta) \\[4pt]
&=-2\cos3\theta\sin\theta
\end{align*}
となるから\sin2\theta-\sin4\theta&=2\cos3\theta\sin(-\theta) \\[4pt]
&=-2\cos3\theta\sin\theta
\end{align*}
\begin{align*}
f(3\theta)=-2\cos3\theta
\end{align*}
f(3\theta)=-2\cos3\theta
\end{align*}
うまくいきました！
ヒロ
$f(3\theta)$ は $3\theta$ の関数ということだから，「$3\theta$ が出てくるような変形」を考えることが重要だね。そういうのを無視して，2倍角の公式を使って，とりあえず変形していくというのでは，なかなか正解にはたどり着けない。
(b)は(a)を利用するために，$\theta=\dfrac{\pi}{9}$ とおいてみます。
【(b)の解答】
$\theta=\dfrac{\pi}{9}$ とおくと
$\theta=\dfrac{\pi}{9}$ とおくと
\begin{align*}
f(3\theta)=-2\cos\dfrac{\pi}{3}=-1
\end{align*}
であるから，f(3\theta)=-2\cos\dfrac{\pi}{3}=-1
\end{align*}
\begin{align*}
&\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{4\pi}{9}=-\sin\dfrac{\pi}{9} \\[4pt]
&\sin\dfrac{\pi}{9}+\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{4\pi}{9}=0
\end{align*}
&\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{4\pi}{9}=-\sin\dfrac{\pi}{9} \\[4pt]
&\sin\dfrac{\pi}{9}+\sin\dfrac{2\pi}{9}-\sin\dfrac{4\pi}{9}=0
\end{align*}