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n個のボールを3つの箱に入れる問題【1996年 東京大】

n個のボールを3つの箱に入れる問題数学IAIIB
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前回は6個のボールを3つの箱に入れる問題について説明しました。今回は1996年に東京大で出題された入試問題を用いて,n個のボールを3つの箱に入れる問題について解説します。

1996年 東京大$n$ を正の整数とし,$n$ 個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える。ただし,1個のボールも入らない箱があってもよいものとする。以下に述べる4つの場合について,それぞれ相異なる入れ方の総数を求めたい。
(1) 1から $n$ まで異なる番号についた $n$ 個のボールを,A, B, Cと区別された3つの箱に入れる場合,その入れ方は全部で何通りあるか。
(2) 互いに区別のつかない $n$ 個のボールを,A, B, Cと区別された3つの箱に入れる場合,その入れ方は全部で何通りあるか。
(3) 1から $n$ まで異なる番号のついた $n$ 個のボールを,区別のつかない3つの箱に入れる場合,その入れ方は全部で何通りあるか。
(4) $n$ が6の倍数 $6m$ であるとき,互いに区別のつかない $n$ 個のボールを,区別のつかない3つの箱に入れる場合,その入れ方は全部で何通りあるか。
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(1)の解説

1から $n$ まで異なる番号についた $n$ 個のボールを,A, B, Cと区別された3つの箱に入れる場合,その入れ方は全部で何通りあるか。空箱があってもよい。

ヒロ
ヒロ

ボールも箱も区別して考えるから,それぞれのボールの入れ方を考えれば良い。ちなみに前回の(5)のタイプ。

各ボールについて,それぞれA, B, Cの3つの箱に入れる場合があり,空箱があってもよいから,入れ方は全部で
\begin{align*}
3^n~通り
\end{align*}

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