【微分不要】無理関数の最小値【高校数学】

ここでは無理関数の最小値について解説します。
無理関数の最小値を求める問題では，一般的な解法としては数学IIIの微分を用います。
しかし，ある特殊な形をした無理関数では，微分を利用することなく，その関数の最小値を求めることができます。
関数や式を見たときに考えること・思うことは，その関数や式によっても違いますし，人によっても異なります。ただ，「式の一つの見方」として知っておくことで，色々な問題に対応できるようになることもあります。知識を増やしていきましょう。

質問された問題

ヒロ先生，この問題って微分するしかないんですか？

ヒロ

解答は微分を利用して解いているんだよね？

そうです。やっぱり微分するしかないですか？

ヒロ

この問題の関数の形なら，実は微分をしなくても解けるよ。

その方法を教えて下さい！

ヒロ

それでは解いていこう！

数学IIIの微分を用いない解法

ヒロ

まず，つぎのような式の見方をできるようにしよう。

2点間の距離$\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$ は2点A $(a,b)$ とB $(c,d)$ の間の距離を表している。

ヒロ

今回の問題の $\sqrt{x^2+1}$ はどんな2点間の距離を表しているか考えよう。

2点 $(x,0)$ と $(0,1)$ の間の距離ですか？

ヒロ

いいね！では $\sqrt{(x-3)^2+4}$ の部分はどうかな？

同じように考えると，2点 $(x,0)$ と $(3,2)$ の間の距離ですか？

ヒロ

そうだね。

それでは，今考えた3点を座標平面にとってみよう。

A$(0,1)$, B$(3,2)$, P$(x,0)$ として，点Pは $x$ 軸上に適当にとりました。

ヒロ

求める関数の最小値は，$\rm{AP+BP}$ の最小値ということだね。

2つの線分の長さの和の最小値を求める問題ですね！

ヒロ

そうだね！ここまできたら微分を利用しなくても解けることが分かるね。

やってみます！

$x$ 軸に関してAと対称な点をA$’$とすると，

\begin{align*} \rm{AP+BP}=\rm{A’P+BP}\geqq\rm{A’B} \end{align*}

線分 $\rm{A’B}$ と $x$ 軸の交点をQとすると，点Pが点Qに一致するとき，$\rm{A’P+BP}$ が最小になる。
ここで，直線 $\rm{A’B}$ の方程式は $y=x-1$ だから，Q$(1,0)$ である。
また，$\rm{A’B}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$ であるから，
$x=1$ のとき，$y$ は最小値 $3\sqrt{2}$ をとる。

ヒロ

完璧だね！

合ってるんですね！良かったです！