放物線上の2点を通る直線の式を求める機会はそれなりにありますが，意外と面倒ですよね。
これについて説明しているサイトは数多くありますが，そのどれもが頂点を原点とするタイプの放物線について解説しているだけです。中学生にとってはありがたい知識でも高校生にとっては既に知っていて，がっかりすることも少なくありません。
この記事を読むことで，どんな放物線でも，その放物線上の2点を通る直線の式を簡単に求めることができるようになります。
Contents
放物線 $y=ax^2$ 上の2点を通る直線の式を簡単に求める方法
ヒロ
放物線 $y=ax^2$ 上の2点を通る直線の方程式は次のように表されることを知っておこう。
放物線 $y=ax^2$ 上の2点を通る直線の式放物線 $y=ax^2$ 上の2点 $\mathrm{P}(p,~ap^2)$, $\mathrm{Q}(q,~aq^2)$ を通る直線の方程式は次のようになる。
\begin{align*}
y=a(p+q)x-apq
\end{align*}
y=a(p+q)x-apq
\end{align*}
ヒロ
$x^2$ の係数と通る2点の $x$ 座標が分かっていれば，その2点を通る直線の式を簡単に求めることができる。そのため，高校入試であれば，かなり実用的な公式だね。
ヒロ
念のため，証明をしておこう。
【$y=ax^2$ 上の2点を通る直線の式の導出】
$y=ax^2$ 上の2点 $\mathrm{P}(p,~ap^2)$, $\mathrm{Q}(q,~aq^2)$ を通る直線の傾きを $m$ とすると
$y=ax^2$ 上の2点 $\mathrm{P}(p,~ap^2)$, $\mathrm{Q}(q,~aq^2)$ を通る直線の傾きを $m$ とすると
\begin{align*}
m&=\dfrac{qp^2-aq^2}{p-q} \\[4pt]&=\dfrac{a(p+q)(p-q)}{p-q} \\[4pt]&=a(p+q)
\end{align*}
よって，求める直線の方程式はm&=\dfrac{qp^2-aq^2}{p-q} \\[4pt]&=\dfrac{a(p+q)(p-q)}{p-q} \\[4pt]&=a(p+q)
\end{align*}
\begin{align*}
y&=a(p+q)(x-p)+ap^2 \\[4pt]&=a(p+q)x-apq
\end{align*}
y&=a(p+q)(x-p)+ap^2 \\[4pt]&=a(p+q)x-apq
\end{align*}