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相加平均・相乗平均の不等式の証明から学ぶこととは?

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相加平均・相乗平均の不等式 相加相乗平均の関係数学IAIIB

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前問をさらに応用させる

ヒロ
ヒロ

さぁ,ラストの(3)だね!

$\sqrt[3]{abc}\leqq\dfrac{a+b+c}{3}$ を証明せよ。

はい!

ヒロ
ヒロ

色々な証明方法があるが,練習のために(2)を利用することを考えよう。

ということは,4文字から3文字に減らすんですね?

ヒロ
ヒロ

考え方によっては,文字を減らす方が楽な場合があるよ。

右辺を作る場合

ヒロ
ヒロ

まずは右辺を作る場合からやってみよう。

$d$ を何かに置き換えることを考えるんですか?

ヒロ
ヒロ

そうだね。単純に等号で結ぶだけで,どう置き換えれば良いかが分かるよ。

【置き換え方を調べるためのメモ】
$\,\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4}=\frac{a+b+c}{3}\,$ とすると,
\begin{align*}
&a+b+c+d=\frac{4}{3}(a+b+c) \\
&d=\frac{a+b+c}{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

これで準備終了だね。

(2)において,$\,\displaystyle d=\frac{a+b+c}{3}~(>0)\,$ とおくと,
\begin{align*}
&\sqrt[4]{abc\cdot\frac{a+b+c}{3}}\leqq\frac{1}{4}\left(a+b+c+\frac{a+b+c}{3}\right) \\[4pt]
&\sqrt[4]{abc\cdot\frac{a+b+c}{3}}\leqq\frac{a+b+c}{3}
\end{align*}
等号が成り立つのは,$\,\displaystyle a=b=c=\frac{a+b+c}{3}\,$ のとき,すなわち,$\,a=b=c\,$ のとき。両辺を4乗すると,
\begin{align*}
&abc\cdot\frac{a+b+c}{3}\leqq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^4
\end{align*}
両辺を $\,\displaystyle\frac{a+b+c}{3}~(>0)\,$ で割ると,
\begin{align*}
&abc\leqq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3
\end{align*}
よって,$\,\displaystyle \sqrt[3]{abc}\leqq\frac{a+b+c}{3}\,$ が成り立つ。等号が成り立つのは,$\,a=b=c\,$ のとき。

左辺を作る場合

ヒロ
ヒロ

今度は左辺を作ることで証明しよう。

やってみますね。

【置き換え方を調べるためのメモ】
$\,\sqrt[4]{abcd}=\sqrt[3]{abc}\,$ として,両辺を 12 乗すると,
\begin{align*}
&(abcd)^3=(abc)^4 \\[4pt]
&d^3=abc
\end{align*}
よって,$d$ は正の実数だから,$d=\sqrt[3]{abc}$ となる。

これで置き換え方が分かりました!

(2)において,$d=\sqrt[3]{abc}~(>0)$ とおくと,
\begin{align*}
&\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}\leqq\frac{a+b+c+\sqrt[3]{abc}}{4} \\[4pt]
&4\sqrt[3]{abc}\leqq a+b+c+\sqrt[3]{abc} \\[4pt]
&3\sqrt[3]{abc}\leqq a+b+c \\[4pt]
&\sqrt[3]{abc}\leqq\frac{a+b+c}{3}
\end{align*}
等号が成り立つのは,$\,a=b=c=\sqrt[3]{abc}\,$ のとき,すなわち,$\,a=b=c\,$ のとき。
ヒロ
ヒロ

完璧だね!

これは得意かもしれないです!

まとめ

ヒロ
ヒロ

不等式の証明で注意することをまとめておくよ。

不等式の証明で注意すること
  1. 2本の不等式の和や積によって,新しく不等式を作った場合は等号が成り立つ条件をしっかり考えよう。
  2. 既に成り立つことが分かっている不等式を利用する場合は,左辺と右辺のどちらでも良いので,文字を置き換えることで一致させるようにしよう。
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