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アステロイド曲線(媒介変数表示・弧長・面積・体積)

アステロイド曲線数学III
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半径 $a$ の円内をその4分の1の半径をもつ円が滑らずに転がるとき,内円の円周上の定点の軌跡をアステロイドといいます。
アステロイド曲線
アステロイド曲線の媒介変数表示,曲線の描画,面積,曲線の長さ,回転体の体積について知っておきましょう。

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アステロイド曲線の媒介変数表示

ヒロ
ヒロ

アステロイド上の点 $\mathrm{P}(x,~y)$ の媒介変数表示を導こう。

原点を中心とする半径 $a$ の円を $C$ とし,$C$ に内接する半径 $\dfrac{1}{4}a$ の円を $D$ とする。また,点Aの座標を $(a,~0)$ とし,円 $D$ が点Aで円 $C$ と接するときの円 $D$ の中心を $\mathrm{D}_1$ とする。円 $D$ が円 $C$ 内を滑らずに転がり,$D$ の中心が $\mathrm{D}_2$ まできたとき,円 $C$ との接点をBとし,$\kaku{AOB}=\theta$ とする。
アステロイド曲線 媒介変数表示
このとき,弧ABの長さと弧BPの長さが等しくなる。
\begin{align*}
\ko{\mathrm{AB}}=a\theta,~~\ko{\mathrm{BP}}=\dfrac{1}{4}a\varphi
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
&a\theta=\dfrac{1}{4}a\varphi \\[4pt]&\varphi=4\theta
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

回転移動された点の座標を考えるとき,回転行列を利用するのが楽であるが,行列を知らない場合は複素数平面で考えると良い。

複素数平面における回転

複素数平面上の点 $\mathrm{B}(\beta)$ を点 $\mathrm{A}(\alpha)$ を中心として $\theta$ だけ回転した点を $\mathrm{P}(z)$ とすると

\begin{align*}
&z=(\cos\theta+i\sin\theta)(\beta-\alpha)+\alpha
\end{align*}
と表すことができる。

複素数平面上で考えて,点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}_1$, $\mathrm{D}_2$ を表す複素数をそれぞれ $\beta$, $z_1$, $z_2$ とすると
\begin{align*}
&\beta=a(\cos\theta+i\sin\theta) \\[4pt]&z_1=\dfrac{3}{4}a \\[4pt]&z_2=(\cos\theta+i\sin\theta)z_1=\dfrac{3}{4}a(\cos\theta+i\sin\theta)
\end{align*}
となる。点 $\mathrm{P}$ を表す複素数を $z$ とすると
\begin{align*}
z&=\bigl(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)\bigr)(\beta-z_2)+z_2 \\[4pt]&=(\cos4\theta-i\sin4\theta)\Cdota\dfrac{1}{4}a(\cos\theta+i\sin\theta)+\dfrac{3}{4}a(\cos\theta+i\sin\theta) \\[4pt]&=\dfrac{1}{4}a(\cos3\theta-i\sin3\theta)+\dfrac{3}{4}a(\cos\theta+i\sin\theta) \\[4pt]&=\dfrac{1}{4}a\bigl(\cos3\theta+3\cos\theta+i(-\sin3\theta+3\sin\theta)\bigr)
\end{align*}
ここで3倍角の公式より
\begin{align*}
&\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta \\[4pt]&\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
z=a(\cos^3\theta+i\sin^3\theta)
\end{align*}
$z=x+iy$ より
\begin{align*}
\begin{cases}
x=a\cos^3\theta \\[4pt]y=a\sin^3\theta
\end{cases}
\end{align*}

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