前回は相加平均と相乗平均の不等式の証明をすることで，不等式の証明における考え方を伝えました。今日はもう少し慣れてもらいましょう！
今日扱う問題はこちら。
&(1)\ ab+1>a+b \\[4pt]&(2)\ abc+2>a+b+c
\end{align*}
色々な問題集に載っているから見たことある人も多いと思う。とりあえず解いてみよう！
正であることの証明方法
(1)は $(左辺)-(右辺)>0$ を証明すれば良いんですよね！
~(左辺)-(右辺)&=(ab+1)-(a+b) \\[4pt]
&=ab-a-b+1 \\[4pt]
&=(a-1)(b-1)
\end{align*}
a-1<0~~かつ~~b-1<0
\end{align*}
よって，$(左辺)-(右辺)>0$ すなわち，$ab+1>a+b$ が成り立つ。
完璧だね。
これは簡単でした！
- 正の数の和や積で表す
- 正の数と負の数の積で，負の個数を偶数にする
- $(実数)^2+(正の数)$ の形を作る
式の形が似ていると感じるかどうかが重要
次は(2)だ。(2)の不等式を見て，なんとなく(1)と似ているなぁって感じるかどうかが重要だよ。
もし何も感じなかったらどうなるんですか？
今のは聞かなかったことにしよう・・・
さて，式が似ていると感じた場合は，左辺と右辺のどちらでも良いから，文字を置き換えたり，不等式の性質を利用することでどちらかの式を作ろう。
- $\,a<b\,$ ならば $\,a+c<b+c,~a-c<b-c$
- $\,a<b,~c>0\,$ ならば $\,\displaystyle ac<bc,~\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$
- $\,a<b,~c<0\,$ ならば $\,\displaystyle ac>bc,~\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$
じゃあ右辺を作りますね。(1)の不等式の両辺に $c$ を加えれば作れます！
そうだね。その方針で証明していこう！
&ab+1+c>a+b+c\ \cdots\cdots ①
\end{align*}
あとは $abc+2>ab+1+c$ を証明すれば終わりですね！
そうだね。その不等式をもう少し整理しておこう。
$abc+2>ab+1+c$ より，$abc+1>ab+c$
(1)の不等式と見比べると，$a$ が $ab$ に，$b$ が $c$ になってますね。
ただし，文字を置き換えるときは，不等式が成り立つ条件に注意しておこう。
はい，分かりました！
&ab\cdot c+1>ab+c \\[4pt]
&abc+2>ab+c+1\ \cdots\cdots ②
\end{align*}
abc+2>a+b+c
\end{align*}
完璧だね！次は左辺を作って証明することに挑戦しよう！
文字を置き換えても，左辺と同じ式になりません・・・
文字の置き換えなどの１回の操作で同じ式を作れない場合は，数回に分けて同じ式を作ることを考えよう！
とりあえず $b$ を $bc$ にすれば $ab$ を $abc$ にできますね。
よって，(1)の結果より，
&abc+1>a+bc
\end{align*}
この両辺に１を加えれば良いんですね！
そういうこと！
あとは $a+bc+1>a+b+c$ つまり $bc+1>b+c$ を証明すれば終わりですね！
そうだね。
&bc+1>b+c \\[4pt]
&a+bc+1>a+b+c\ \cdots\cdots ④
\end{align*}
abc+2>a+b+c
\end{align*}
意外と簡単ですね！
この調子でどんどん解ける問題を増やそう！
まとめ
不等式の証明問題で設問がいくつかあって，前の設問の不等式と似ているなぁと感じたら，うまく利用することを考えよう！