休校だからこそ重要な自宅学習

不等式の証明に慣れよう

不等式の証明数学IAIIB
スポンサーリンク

前回は相加平均と相乗平均の不等式の証明をすることで,不等式の証明における考え方を伝えました。今日はもう少し慣れてもらいましょう!

ヒロ
ヒロ

今日扱う問題はこちら。

1956年 名古屋大学$|a|<1,~|b|<1,~|c|<1$ のとき,次の不等式を証明せよ。
\begin{align*}
&(1)\ ab+1>a+b \\[4pt]&(2)\ abc+2>a+b+c
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

色々な問題集に載っているから見たことある人も多いと思う。とりあえず解いてみよう!

スポンサーリンク

正であることの証明方法

(1)は $(左辺)-(右辺)>0$ を証明すれば良いんですよね!

\begin{align*}
~(左辺)-(右辺)&=(ab+1)-(a+b) \\[4pt]&=ab-a-b+1 \\[4pt]&=(a-1)(b-1)
\end{align*}
ここで,$|a|<1,~|b|<1$より,
\begin{align*}
a-1<0~~かつ~~b-1<0
\end{align*}
であるから,$(a-1)(b-1)>0$
よって,$(左辺)-(右辺)>0$ すなわち,$ab+1>a+b$ が成り立つ。
ヒロ
ヒロ

完璧だね。

これは簡単でした!

正であることの証明方法
  1. 正の数の和や積で表す
  2. 正の数と負の数の積で,負の個数を偶数にする
  3. $(実数)^2+(正の数)$ の形を作る

式の形が似ていると感じるかどうかが重要

ヒロ
ヒロ

次は(2)だ。(2)の不等式を見て,なんとなく(1)と似ているなぁって感じるかどうかが重要だよ。

もし何も感じなかったらどうなるんですか?

ヒロ
ヒロ

今のは聞かなかったことにしよう・・・

ヒロ
ヒロ

さて,式が似ていると感じた場合は,左辺と右辺のどちらでも良いから,文字を置き換えたり,不等式の性質を利用することでどちらかの式を作ろう。

不等式の性質
  1. $\,a<b\,$ ならば $\,a+c<b+c,~a-c<b-c$
  2. $\,a<b,~c>0\,$ ならば $\,\displaystyle ac<bc,~\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$
  3. $\,a<b,~c<0\,$ ならば $\,\displaystyle ac>bc,~\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$

じゃあ右辺を作りますね。(1)の不等式の両辺に $c$ を加えれば作れます!

ヒロ
ヒロ

そうだね。その方針で証明していこう!

(1)の不等式の両辺に $c$ を加えることで
\begin{align*}
&ab+1+c>a+b+c\ \cdots\cdots ①
\end{align*}
が成り立つ。

あとは $abc+2>ab+1+c$ を証明すれば終わりですね!

ヒロ
ヒロ

そうだね。その不等式をもう少し整理しておこう。

【何を証明すれば良いのかを確認するためのメモ】
$abc+2>ab+1+c$ より,$abc+1>ab+c$

(1)の不等式と見比べると,$a$ が $ab$ に,$b$ が $c$ になってますね。

ヒロ
ヒロ

ただし,文字を置き換えるときは,不等式が成り立つ条件に注意しておこう。

はい,分かりました!

$|a|<1,~|b|<1$ より,$|ab|<1$ であり,$|c|<1$ であるから,(1)の結果より,
\begin{align*}
&ab\cdot c+1>ab+c \\[4pt]&abc+2>ab+c+1\ \cdots\cdots ②
\end{align*}
が成り立つ。①,②より,
\begin{align*}
abc+2>a+b+c
\end{align*}
が成り立つ。
ヒロ
ヒロ

完璧だね!次は左辺を作って証明することに挑戦しよう!

文字を置き換えても,左辺と同じ式になりません・・・

ヒロ
ヒロ

文字の置き換えなどの1回の操作で同じ式を作れない場合は,数回に分けて同じ式を作ることを考えよう!

とりあえず $b$ を $bc$ にすれば $ab$ を $abc$ にできますね。

$|b|<1,~|c|<1$ であるから,$|bc|<1$
よって,(1)の結果より,
\begin{align*}
&abc+1>a+bc
\end{align*}
が成り立つ。

この両辺に1を加えれば良いんですね!

ヒロ
ヒロ

そういうこと!

両辺に1を加えて,$abc+2>a+bc+1\ \cdots\cdots$ ③

あとは $a+bc+1>a+b+c$ つまり $bc+1>b+c$ を証明すれば終わりですね!

ヒロ
ヒロ

そうだね。

$|b|<1,~|c|<1$ であるから,(1)の結果より,
\begin{align*}
&bc+1>b+c \\[4pt]&a+bc+1>a+b+c\ \cdots\cdots ④
\end{align*}
③,④より,
\begin{align*}
abc+2>a+b+c
\end{align*}

意外と簡単ですね!

ヒロ
ヒロ

この調子でどんどん解ける問題を増やそう!

まとめ

ヒロ
ヒロ

不等式の証明問題で設問がいくつかあって,前の設問の不等式と似ているなぁと感じたら,うまく利用することを考えよう!

タイトルとURLをコピーしました