二項係数の和を求める2通りの方法とは？

前回は多項式の係数の和の求め方について説明しました。$x$ の多項式ならば，$x$ に1を代入すればの係数の和を求めることができました。今回は二項係数の和について説明します。結局は「係数の和」ですから，何らかの多項式を考えることになります。

多項式の係数の和の求め方とは？

今回は多項式の係数の和に関する問題について説明します。問題$(x^2+4x-3)^6$ の展開式の係数の和を求めよ。ヒロ考えてみよう！プリントを次のリンクからダウンロードできます。問題を簡単化する展開したら，あとは係数を足すだけ...

次の問題を解けるようになることを目標とします。

2018年東北学院大$n$ が自然数のとき，${}_n\!\mathrm{C}_0+{}_n\!\mathrm{C}_1+\cdots+{}_n\!\mathrm{C}_n$ を $n$ の簡単な式で表せ。

プリントを次のリンクからダウンロードできます。

ダウンロード

Contents

1 二項係数と二項定理
2 二項展開を利用して二項係数の和を求める
3 場合の数を利用して二項係数の和を求める
4 まとめ

二項係数と二項定理

ヒロ

${}_n\!\mathrm{C}_k$ は二項係数と呼ばれるものだったね。

はい！

ヒロ

「係数」とあるからには，何か多項式の係数なんだろうね？

二項定理は関係ありますか？

ヒロ

関係あるっていうか，それだよ！

二項定理

\begin{align*}
(a+b)^n&={}_n\!\mathrm{C}_0a^nb^0+{}_n\!\mathrm{C}_1a^{n-1}b^1+{}_n\!\mathrm{C}_2a^{n-2}b^2+\cdots \\
&\quad +{}_n\!\mathrm{C}_ka^{n-k}b^k+\cdots+{}_n\!\mathrm{C}_{n-1}a^1b^{n-1}+{}_n\!\mathrm{C}_na^0b^n \\
&=\sum_{k=0}^n{}_n\!\mathrm{C}_ka^{n-k}b^k
\end{align*}

二項係数

二項係数 ${}_n\!\mathrm{C}_k$ は $(1+x)^n$ の展開式における $x^k$ の項の係数である。

【二項定理の説明】
$(a+b)^n$ は $a+b$ を $n$ 個掛け合わせたものである。

\begin{align*}
(a+b)^n=\underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n\text{個}}
\end{align*}

$n$ 個の括弧から $a$ をとる括弧を $n-k$ 個選び，残りの $k$ 個の括弧から $b$ をとるとき，現れる項は $a^{n-k}b^k$ で，その選び方は ${}_n\!\mathrm{C}_k$ 通りある。また，$k$ は $k=0,1,2,\cdots,n$ を取りうるから，それらすべてを加えたものが $(a+b)^n$ の展開であり，$\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\!\mathrm{C}_ka^{n-k}b^k$ が成り立つ。

二項定理って，前にやった $(a+b+c)^3$ の展開が分かってたら簡単ですね！

ヒロ

そうだね！

【展開公式】$(a+b+c)^3$ を楽に速く展開する方法とは？

面倒だと思う(a+b+c)^3の展開も，考え方をしっかりもつことで楽に速く展開することができます。また，複数単元の知識を結びつけることで，1つ1つの知識を強化することができます。高校数学の問題は考え方が重要です。

ヒロ

ちなみに，二項係数を三角形状に並べたものはパスカルの三角形と呼ばれているよ。

パスカルの三角形

二項係数を三角形状に並べたものをパスカルの三角形という。

二項展開を利用して二項係数の和を求める

ヒロ

二項定理において，$a=1,~b=x$ とした式はよく利用するから，いつでも使えるようにしておこう！

よく利用する二項展開

\begin{align*}
(1+x)^n&={}_n\!\mathrm{C}_0+{}_n\!\mathrm{C}_1x+{}_n\!\mathrm{C}_2x^2+\cdots \\
&\quad +{}_n\!\mathrm{C}_kx^k+\cdots+{}_n\!\mathrm{C}_{n-1}x^{n-1}+{}_n\!\mathrm{C}_nx^n \\
&=\sum_{k=0}^n{}_n\!\mathrm{C}_kx^k
\end{align*}

問題の式は，この式の係数の和だから，$x$ に１を代入すれば良いってことですね！

ヒロ

そういうことだね！

二項展開 $\,\displaystyle (1+x)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\!\mathrm{C}_kx^k\,$ において，$x=1$ とすると，

\begin{align*}
&(1+1)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\!\mathrm{C}_k \\
&\sum_{k=0}^n{}_n\!\mathrm{C}_k=2^n
\end{align*}

簡単ですね！

ヒロ

有名な問題だから，大学入試で出題されたら確実に得点できるようにしよう！

場合の数を利用して二項係数の和を求める

ヒロ

ここで，もう１問やってみよう！

問題$n$ 人を２つの部屋 A, B に分ける方法は全部で何通りあるか。ただし，全員が同じ部屋に入ってもよいとする。

それぞれの人について，A か B の２通りの選び方があって，$n$ 人いるから，全部で $2^n$ 通り $\cdots$ ①ですね！

ヒロ

そうだね！別の考え方として次のような考え方をしても良いよね？

２つの部屋 A, B に入る人数がそれぞれ $x,y$ のとき，$(\mathrm{A},\mathrm{B})=(x,y)$ と表すことにする。A, B の取りうる値の組み合わせは次のようになる。

\begin{align*}
(\mathrm{A},\mathrm{B})=(0,n),(1,n-1),\cdots,(k,n-k),\cdots,(n,0)
\end{align*}

$(\mathrm{A},\mathrm{B})=(k,n-k)$ のとき，その場合の数は ${}_n\!\mathrm{C}_k$ である。
よって，それらをすべて加えて，求める場合の数は $\,\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_n\!\mathrm{C}_k~\cdots$ ② となる。