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相加平均・相乗平均の不等式の証明から学ぶこととは?

相加平均・相乗平均の不等式 相加相乗平均の関係数学IAIIB
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ここでは不等式の証明について説明します。「不等式の証明なんて大きい方から小さい方を引いて0以上,あるいは,正であることを示すだけでしょ」って言われそうですが,それが分かっていても解けない問題ってありますよね?

しっかりとした考え方を身に付けることで,様々な問題に対応することができます。

題材として,相加平均・相乗平均の不等式の証明が出題されている2011年新潟大の問題を使いますが,(3)はそのままだと面白くないので変えました。

2011年 新潟大(改)$\,a,~b,~c,~d\,$ を正の実数とする。このとき,次の不等式を証明せよ。
\begin{align*}
&(1)\ \sqrt{ab}\leqq\frac{a+b}{2} \\[4pt]
&(2)\ \sqrt[4]{abcd}\leqq\frac{a+b+c+d}{4} \\[4pt] 
&(3)\ \sqrt[3]{abc}\leqq\frac{a+b+c}{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

これらは「相加平均と相乗平均の不等式」と呼ばれる有名な不等式で,関連する問題は毎年どこかの大学で出題されているよ。

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不等式 $\,A\geqq B\,$ の証明方法

ヒロ
ヒロ

まずは軽く不等式の証明方法について復習しておこうか。

はい,お願いします。

ヒロ
ヒロ

不等式の証明の基本はこれだね。

不等式 $\,A\geqq B\,$ を証明するときは $\,A-B\geqq0\,$ を証明しよう。

そうですね!

ヒロ
ヒロ

ただ実際に色々な問題を解いてみると,中々うまくいかないことが多いよね?

そうなんですよね・・・

ヒロ
ヒロ

だから,他にも基本的な証明方法を知っておこう。

不等式 $\,A\geqq B\,$ の証明方法
  1. $\,A-B\geqq0\,$ を証明する。
  2. $\,A\geqq0,~B\geqq0\,$ のときは,$A^2-B^2\geqq0$ を証明しても良い。
  3. 既に知られている不等式を利用する。
  4. $\,A\geqq C\,$ かつ $\,C\geqq B\,$ となりそうな $C$ を見つける。
ヒロ
ヒロ

平方根や絶対値を含む不等式の証明では,2番目の証明方法が良く使われるね。3番目は「相加平均と相乗平均の不等式」や「コーシー・シュワルツの不等式」などを利用する証明方法だね。

4番目は見たことないです。

ヒロ
ヒロ

不等式の証明方法として,4番目を習うことはないかもしれないけど,かなり重要な考え方だよ。だから今日は4番目の考え方について重点的に説明していくよ。

よろしくお願いします。

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