前回の記事では，証明問題の４つのパターンについて書きました。また，「少なくとも」「または」で表された内容を１本の等式で表す方法の説明をしました。今回はその第二弾となります。
等式の証明において，その等式や与えられている条件式が対称式である場合は，「あること」に気を付けなければなりません。多くの方がそのことを知らないまま，入試問題の難問を目の前にすると，手を出せずに白紙解答となってしまいます。そうならないためにも，対称式を見たときに何に気を付けるのかを身に付けましょう。
まずは考えてみよう！
プリントを次のリンクからダウンロードできます。
問題を簡単化する
まずは結論部分の「$\,\displaystyle x=y=\frac{1}{2}\,$」を１本の等式で表すことを考えよう！
まずは「$\displaystyle \,x=\frac{1}{2}~\text{かつ}~y=\frac{1}{2}\,$」とするんですね！
そうだね！ここで問題を簡単にするために，$\displaystyle \frac{1}{2}$ を０にして考えよう。
さぁ，しっかり考えよう！
「$\,xy=0\,$」ではないし・・・
よくある誤答は「$\,x+y=0\,$」だけど，これだと「$\,x=3\,$，$y=-3\,$」でも成り立つから違うよね。
今「$\,x+y=0\,$」と答えようとしてたとは言えないな・・・
すぐに答えを言うのも微妙だから，ちょっと説明していこうか。
今回は問題文に「実数」とあるね？
ありますけど，そんなの気にしたことありません。
普通はそうだろうね。ちなみに実数ってどんな数？
実数ですか・・・$\displaystyle 2,~\frac{1}{3},~\sqrt{5}$ とか色々ありますね。
そうだね。ちなみに分数で表せる数を何って言うんだっけ？
有理数です。
逆に分数で表せない数は？
無理数です。
そうだね。その有理数と無理数を合わせたものが実数ってことだね。
じゃあ，ちなみに実数ではない数は？
虚数です。
そうだね。虚数単位は $i$ だけどその定義は？
$i=\sqrt{-1}$ です！
別の言い方をすれば，$i^2=-1$ となるね。つまり，純虚数を２乗すると負になるよね？ということは実数は・・・？
実数は２乗すると０以上になる数ってことですか？
そうだね！今は $x$ が実数と書かれているから，$x^2\geqq0$ が成り立つ。この不等式の等号が成り立つときの $x$ の値は何？
$x=0$ です。
今分かったことは，「$\,x^2=0\,$ ならば $\,x=0\,$」だよ。これで 「$\,x=0~\text{かつ}~y=0\,$」を１本の等式で表せるかな？
なるほど！「$\,x^2+y^2=0\,$」ですね。
そうだね！
何を示せば良いかを明確に！
これで「$\displaystyle \,x=\frac{1}{2}~\text{かつ}~y=\frac{1}{2}\,$」を１本の等式で表せるね。
まず，$\displaystyle \,x-\frac{1}{2}=0\,~\text{かつ}~y-\frac{1}{2}=0\,$ にします。
いいね。公式は０を基準に書かれているんだったね。
「$\displaystyle \,\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0\,$」ですね！
あとは $\displaystyle x^2+y^2+\frac{1}{2}=x+y$ を利用して証明すれば良いね。
やってみます！
\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2
=x^2+y^2-x-y+\frac{1}{2}
\end{align*}
\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0
\end{align*}
何を証明すればよいかが分かれば，結構簡単でしょ？
そうですね！
対称な式を扱うときの注意点
この調子でもう１問やってみよう。
まずは $\,a=b=c\,$ を「$\,a=b\,$ かつ $\,b=c\,$」として，「$\,(a-b)^2+(b-c)^2=0\,$」を証明すれば良いんですね！
(a-b)^2+(b-c)^2&=a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc
\end{align*}
うまくいきません。どうすれば良いんですか？
$\,a=b=c\,$ を「$\,a=b\,$ かつ $\,b=c\,$」としたのは内容としては間違ってはいない。ただし，対称な式を変形するときはあることを意識した方がいいね。
その「あること」って何ですか？
対称な式を変形するときは，対称性を崩してはいけないんだ。
どういう意味・・・？
最初の問題も，$\,x,~y\,$ について対称だったけど，２文字だったから特に意識する必要はなかったんだ。でも今回は３文字になったから，注意が必要なんだ。
３文字が対称のときは，平等に扱わないといけない。例えば「$\,a=b\,$ かつ $\,b=c\,$」とした場合は，意識はしてないと思うけど結果的に $b$ に偏って変形してることになるよね？
じゃあどうすれば良いんですか？
もう１つ付け加えて「$\,a=b\,$ かつ $\,b=c\,$ かつ $\,c=a\,$」としよう。
なるほど！それだと偏りはないですね。
これで証明できるかな？
頑張ります。
&(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \\[4pt]
&=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\[4pt]
&=0\quad (\because a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca)
\end{align*}
&a=b\ \ \text{かつ}\ \ b=c\ \text{かつ}\ \ c=a \\[4pt]
&a=b=c
\end{align*}
完璧だね！
よし！
まとめ
「かつ」で表された条件を１本の等式で表す方法を覚えておこう！
対称な式は対称性を崩さないように変形することも重要ですね！
そうだね。使いこなせるようにして，レベルアップしよう！