成績を上げるためには自宅学習!

自宅学習には様々な形態がある!

Z会・進研ゼミなどの通信教育以外にも,オンライン家庭教師を利用することで,自宅にいながらプロ講師の指導を受けることができる!

詳細はこちら

相加平均・相乗平均の不等式の証明から学ぶこととは?

スポンサーリンク
相加平均・相乗平均の不等式 相加相乗平均の関係数学IAIIB

スポンサーリンク

$\displaystyle\,\sqrt{ab}\leqq\frac{a+b}{2}\,$ の正体とは?

ヒロ
ヒロ

それでは(1)を証明していこう。

$\sqrt{ab}\leqq\dfrac{a+b}{2}$ を証明せよ。

これは $\,(右辺)^2-(左辺)^2\geqq0\,$ を証明するんですよね?

【(1)の証明】
$\,a\geqq0,~b\geqq0\,$ のとき,$\,\displaystyle\sqrt{ab}\geqq0,~\frac{a+b}{2}\geqq0\,$ であるから,$\,(右辺)^2-(左辺)^2\geqq0\,$ を証明する。
\begin{align*}
&(右辺)^2-(左辺)^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-(\sqrt{ab})^2 \\[4pt]
&=\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2)-ab \\[4pt]
&=\frac{1}{4}(a^2-2ab+b^2) \\[4pt]
&=\frac{1}{4}(a-b)^2 \\[4pt]
&\geqq0
\end{align*}
よって,$\displaystyle\,\sqrt{ab}\leqq\frac{a+b}{2}\,$ が成り立つ。また,等号が成り立つのは,$\,(a-b)^2=0\,$のとき,すなわち,$\,a=b\,$ のとき。
ヒロ
ヒロ

平方根があるからって,常に2乗して差をとる必要はないよ?次のようにしても構わない。

【(1)の証明Ⅱ】
\begin{align*}
&(右辺)-(左辺)=\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \\[4pt]
&=\frac{1}{2}(a-2\sqrt{ab}+b) \\[4pt]
&=\frac{1}{2}(\ssqrt{a}-\ssqrt{b})^2 \\[4pt]
&\geqq0
\end{align*}
よって,$\displaystyle\,\sqrt{ab}\leqq\frac{a+b}{2}\,$ が成り立つ。また,等号が成り立つのは,$\,(\ssqrt{a}-\ssqrt{b})^2=0\,$ のとき,すなわち,$\,a=b\,$ のとき。

確かにそうですね。

ヒロ
ヒロ

この証明からも分かるように,(1)の相加平均と相乗平均の不等式は,$\,(\ssqrt{a}-\ssqrt{b})^2\geqq0\,$ を展開しただけなんだ。だから,次のような証明でも構わない。

【(1)の証明Ⅲ】
$\,a\geqq0,~b\geqq0\,$ のとき,$\,\ssqrt{a},~\ssqrt{b}\,$ はともに実数であるから,
\begin{align*}
(\ssqrt{a}-\ssqrt{b})^2\geqq0
\end{align*}
が成り立つ。(等号は $\,a=b\,$ のときに成り立つ)
これを展開して整理すると,$\displaystyle\,\sqrt{ab}\leqq\frac{a+b}{2}\,$ となる。

前問を利用する

ヒロ
ヒロ

次は(2)だね。

$\sqrt[4]{abcd}\leqq\dfrac{a+b+c+d}{4}$ を証明せよ。

4乗すると4乗根を外せるけど右辺が大変なことになります。

ヒロ
ヒロ

(2)は3番目の証明方法でいこう。

4乗根が出てくる有名な不等式なんて知らないです。

ヒロ
ヒロ

有名な不等式を利用するとは言ってないよね?既に知られている不等式を利用するんだ。今回の場合は(1)の不等式が,その「既に知られている不等式」になるんだ。

入試問題では前問が誘導になっていることがある。

タイトルとURLをコピーしました