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2017年センター試験 数学ⅠA 第1問 命題

2017年 センター数学ⅠA 命題数学IAIIB
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2017年センター試験 数学ⅠA 第1問 命題の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2017年 センターⅠA 第1問 命題 実数 $x$ に関する2つの条件 $p,~q$ を
\begin{align*}
&p:x=1 \\[4pt]
&q:x^2=1
\end{align*}
とする。また,条件 $p,~q$ の否定をそれぞれ $\overline{p},~\overline{q}$ で表す。
(1) 次の $\mybox{ケ}$, $\mybox{コ}$, $\mybox{サ}$, $\mybox{シ}$ に当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
  $q$ は $p$ であるための $\myBox{ケ}$。
  $\overline{p}$ は $q$ であるための $\myBox{コ}$。
  ($p$ または $\overline{q}$)は $q$ であるための $\myBox{サ}$。
  ($\overline{p}$ かつ $q$)は $q$ であるための $\myBox{シ}$。
⓪ 必要条件だが十分条件でない
① 十分条件だが必要条件でない
② 必要十分条件である
③ 必要条件でも十分条件でもない
(2) 実数 $x$ に関する条件 $r$ を
\begin{align*}
r:x>0
\end{align*}
とする。次の $\mybox{ス}$ に当てはまるものを,下の⓪~⑦のうちから一つ選べ。
 3つの命題
\begin{align*}
&\mathrm{A}:「(p\,かつ\,q)\Rightarrow r」 \\[4pt]
&\mathrm{B}:「q \Rightarrow r」 \\[4pt]
&\mathrm{C}:「\overline{q}\Rightarrow\overline{p}」
\end{align*}
の真偽について正しいものは $\myBox{ス}$ である。
⓪ Aは真,Bは真,Cは真
① Aは真,Bは真,Cは偽
② Aは真,Bは偽,Cは真
③ Aは真,Bは偽,Cは偽
④ Aは偽,Bは真,Cは真
⑤ Aは偽,Bは真,Cは偽
⑥ Aは偽,Bは偽,Cは真
⑦ Aは偽,Bは偽,Cは偽
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(1)の解答

ヒロ
ヒロ

1つずつ丁寧に考えて解こう。

【ケの解答】
条件 $p,~q$ を表す集合をそれぞれ $P,~Q$ とする。
$q:x^2=1$ より $x=\pm1$ であるから,$P\subset Q$ となる。
よって,$q$ は $p$ であるための必要条件だが十分条件ではない。$\myBox{ケ}=⓪$
ヒロ
ヒロ

次は否定の条件に注意しよう。

【コの解答】
$\overline{p}$ は $x\neq1$ である。
$x=0$ は条件 $\overline{p}$ を満たすが,条件 $q$ を満たさないから,$\overline{p}\to q$ は偽である。
また,$x=1$ は条件 $q$ を満たすが,条件 $\overline{p}$ を満たさないから,$q\to\overline{p}$ も偽である。
よって,$\overline{p}$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。$\myBox{コ}=③$
ヒロ
ヒロ

次は「または」に注意しよう。

【サの解答】
$(p\,または\,\overline{q})\to q$ の真偽を調べる。
$x=0$ は $p\,または\,\overline{q}$ を満たすが,条件 $q$ を満たさないから,$(p\,または\,\overline{q})\to q$ は偽である。
次に逆を考える。
$x=-1$ は 条件 $q$ を満たすが,条件 $p\,または\,\overline{q}$ を満たさないから,$q\to(p\,または\,\overline{q})$ は偽である。
よって,$p\,または\,\overline{q}$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。$\myBox{サ}=③$
ヒロ
ヒロ

(1)最後の問題。「かつ」に注意しよう。

【シの解答】
$(\overline{p}\,かつ\,q)\to q$ の真偽を調べる。
条件 $\overline{p}\,かつ\,q$ を満たすのは $x=-1$ に限られ,これは条件 $q$ を満たすから,
$(\overline{p}\,かつ\,q)\to q$ は真である。
次に逆を考える。
$x=1$ は条件 $q$ を満たすが,条件 $\overline{p}\,かつ\,q$ を満たさないから,$q\to(\overline{p}\,かつ\,q)$ は偽である。
よって,$\overline{p}\,かつ\,q$ は $q$ であるための十分条件だが必要条件でない。$\myBox{シ}=①$

(2)の解答

ヒロ
ヒロ

1つずつ真偽を調べよう。

【スの解答】
まずはAの真偽から調べる。
$p\,かつ\,q$ は $x=1$ であり,このとき条件 $r$ を満たすから真である。
次はBの真偽を調べる。
$x=-1$ は条件 $q$ を満たすが,条件 $r$ を満たさないから偽である。
Cの真偽を調べる。
対偶命題「$p\Rightarrow q$」が真であるから,$\overline{q}\to\overline{p}$ も真である。
よって,$\myBox{ス}=②$

2017年 センター数学ⅠA 命題を解いた感想

ヒロ
ヒロ

必要条件や十分条件を判定する際には,両方向調べないといけないため,面倒だが丁寧に考える必要がある。

ヒロ
ヒロ

特に「これって必ず成り立つのか?」と反例を探すつもりで考えることが重要である。

ヒロ
ヒロ

また,再利用できる部分はできるだけ再利用すると時短につながる。

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