2017年センター試験 数学ⅠA 第1問 命題の解説をします。
まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。
2017年 センターⅠA 第1問 命題 実数 $x$ に関する2つの条件 $p,~q$ を
(1) 次の $\mybox{ケ}$, $\mybox{コ}$, $\mybox{サ}$, $\mybox{シ}$ に当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
$q$ は $p$ であるための $\myBox{ケ}$。
$\overline{p}$ は $q$ であるための $\myBox{コ}$。
($p$ または $\overline{q}$)は $q$ であるための $\myBox{サ}$。
($\overline{p}$ かつ $q$)は $q$ であるための $\myBox{シ}$。
⓪ 必要条件だが十分条件でない
① 十分条件だが必要条件でない
② 必要十分条件である
③ 必要条件でも十分条件でもない
(2) 実数 $x$ に関する条件 $r$ を
3つの命題
⓪ Aは真，Bは真，Cは真
① Aは真，Bは真，Cは偽
② Aは真，Bは偽，Cは真
③ Aは真，Bは偽，Cは偽
④ Aは偽，Bは真，Cは真
⑤ Aは偽，Bは真，Cは偽
⑥ Aは偽，Bは偽，Cは真
⑦ Aは偽，Bは偽，Cは偽
\begin{align*}
&p:x=1 \\[4pt]
&q:x^2=1
\end{align*}
とする。また，条件 $p,~q$ の否定をそれぞれ $\overline{p},~\overline{q}$ で表す。&p:x=1 \\[4pt]
&q:x^2=1
\end{align*}
(1) 次の $\mybox{ケ}$, $\mybox{コ}$, $\mybox{サ}$, $\mybox{シ}$ に当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
$q$ は $p$ であるための $\myBox{ケ}$。
$\overline{p}$ は $q$ であるための $\myBox{コ}$。
($p$ または $\overline{q}$)は $q$ であるための $\myBox{サ}$。
($\overline{p}$ かつ $q$)は $q$ であるための $\myBox{シ}$。
⓪ 必要条件だが十分条件でない
① 十分条件だが必要条件でない
② 必要十分条件である
③ 必要条件でも十分条件でもない
(2) 実数 $x$ に関する条件 $r$ を
\begin{align*}
r:x>0
\end{align*}
とする。次の $\mybox{ス}$ に当てはまるものを，下の⓪～⑦のうちから一つ選べ。r:x>0
\end{align*}
3つの命題
\begin{align*}
&\mathrm{A}:「(p\,かつ\,q)\Rightarrow r」 \\[4pt]
&\mathrm{B}:「q \Rightarrow r」 \\[4pt]
&\mathrm{C}:「\overline{q}\Rightarrow\overline{p}」
\end{align*}
の真偽について正しいものは $\myBox{ス}$ である。&\mathrm{A}:「(p\,かつ\,q)\Rightarrow r」 \\[4pt]
&\mathrm{B}:「q \Rightarrow r」 \\[4pt]
&\mathrm{C}:「\overline{q}\Rightarrow\overline{p}」
\end{align*}
⓪ Aは真，Bは真，Cは真
① Aは真，Bは真，Cは偽
② Aは真，Bは偽，Cは真
③ Aは真，Bは偽，Cは偽
④ Aは偽，Bは真，Cは真
⑤ Aは偽，Bは真，Cは偽
⑥ Aは偽，Bは偽，Cは真
⑦ Aは偽，Bは偽，Cは偽
(1)の解答
ヒロ
1つずつ丁寧に考えて解こう。
【ケの解答】
条件 $p,~q$ を表す集合をそれぞれ $P,~Q$ とする。
$q:x^2=1$ より $x=\pm1$ であるから，$P\subset Q$ となる。
よって，$q$ は $p$ であるための必要条件だが十分条件ではない。$\myBox{ケ}=⓪$
条件 $p,~q$ を表す集合をそれぞれ $P,~Q$ とする。
$q:x^2=1$ より $x=\pm1$ であるから，$P\subset Q$ となる。
よって，$q$ は $p$ であるための必要条件だが十分条件ではない。$\myBox{ケ}=⓪$
ヒロ
次は否定の条件に注意しよう。
【コの解答】
$\overline{p}$ は $x\neq1$ である。
$x=0$ は条件 $\overline{p}$ を満たすが，条件 $q$ を満たさないから，$\overline{p}\to q$ は偽である。
また，$x=1$ は条件 $q$ を満たすが，条件 $\overline{p}$ を満たさないから，$q\to\overline{p}$ も偽である。
よって，$\overline{p}$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。$\myBox{コ}=③$
$\overline{p}$ は $x\neq1$ である。
$x=0$ は条件 $\overline{p}$ を満たすが，条件 $q$ を満たさないから，$\overline{p}\to q$ は偽である。
また，$x=1$ は条件 $q$ を満たすが，条件 $\overline{p}$ を満たさないから，$q\to\overline{p}$ も偽である。
よって，$\overline{p}$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。$\myBox{コ}=③$
ヒロ
次は「または」に注意しよう。
【サの解答】
$(p\,または\,\overline{q})\to q$ の真偽を調べる。
$x=0$ は $p\,または\,\overline{q}$ を満たすが，条件 $q$ を満たさないから，$(p\,または\,\overline{q})\to q$ は偽である。
次に逆を考える。
$x=-1$ は 条件 $q$ を満たすが，条件 $p\,または\,\overline{q}$ を満たさないから，$q\to(p\,または\,\overline{q})$ は偽である。
よって，$p\,または\,\overline{q}$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。$\myBox{サ}=③$
$(p\,または\,\overline{q})\to q$ の真偽を調べる。
$x=0$ は $p\,または\,\overline{q}$ を満たすが，条件 $q$ を満たさないから，$(p\,または\,\overline{q})\to q$ は偽である。
次に逆を考える。
$x=-1$ は 条件 $q$ を満たすが，条件 $p\,または\,\overline{q}$ を満たさないから，$q\to(p\,または\,\overline{q})$ は偽である。
よって，$p\,または\,\overline{q}$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。$\myBox{サ}=③$
ヒロ
(1)最後の問題。「かつ」に注意しよう。
【シの解答】
$(\overline{p}\,かつ\,q)\to q$ の真偽を調べる。
条件 $\overline{p}\,かつ\,q$ を満たすのは $x=-1$ に限られ，これは条件 $q$ を満たすから，
$(\overline{p}\,かつ\,q)\to q$ は真である。
次に逆を考える。
$x=1$ は条件 $q$ を満たすが，条件 $\overline{p}\,かつ\,q$ を満たさないから，$q\to(\overline{p}\,かつ\,q)$ は偽である。
よって，$\overline{p}\,かつ\,q$ は $q$ であるための十分条件だが必要条件でない。$\myBox{シ}=①$
$(\overline{p}\,かつ\,q)\to q$ の真偽を調べる。
条件 $\overline{p}\,かつ\,q$ を満たすのは $x=-1$ に限られ，これは条件 $q$ を満たすから，
$(\overline{p}\,かつ\,q)\to q$ は真である。
次に逆を考える。
$x=1$ は条件 $q$ を満たすが，条件 $\overline{p}\,かつ\,q$ を満たさないから，$q\to(\overline{p}\,かつ\,q)$ は偽である。
よって，$\overline{p}\,かつ\,q$ は $q$ であるための十分条件だが必要条件でない。$\myBox{シ}=①$
(2)の解答
ヒロ
1つずつ真偽を調べよう。
【スの解答】
まずはAの真偽から調べる。
$p\,かつ\,q$ は $x=1$ であり，このとき条件 $r$ を満たすから真である。
次はBの真偽を調べる。
$x=-1$ は条件 $q$ を満たすが，条件 $r$ を満たさないから偽である。
Cの真偽を調べる。
対偶命題「$p\Rightarrow q$」が真であるから，$\overline{q}\to\overline{p}$ も真である。
よって，$\myBox{ス}=②$
まずはAの真偽から調べる。
$p\,かつ\,q$ は $x=1$ であり，このとき条件 $r$ を満たすから真である。
次はBの真偽を調べる。
$x=-1$ は条件 $q$ を満たすが，条件 $r$ を満たさないから偽である。
Cの真偽を調べる。
対偶命題「$p\Rightarrow q$」が真であるから，$\overline{q}\to\overline{p}$ も真である。
よって，$\myBox{ス}=②$
2017年 センター数学ⅠA 命題を解いた感想
ヒロ
必要条件や十分条件を判定する際には，両方向調べないといけないため，面倒だが丁寧に考える必要がある。
ヒロ
特に「これって必ず成り立つのか？」と反例を探すつもりで考えることが重要である。
ヒロ
また，再利用できる部分はできるだけ再利用すると時短につながる。
