休校だからこそ重要な自宅学習

【数学Ⅰ】定期テストに出題される不等式の文章題

【数学Ⅰ】定期テストに出題される不等式の文章題数学IAIIB
スポンサーリンク

小学校や中学校では具体的事象に関する文章題は馴染みのある問題ですが,高校になると,りんごや椅子が出てくる文章題は不等式に関する問題くらいです。

昔は不等式自体が中学校で学習する内容であったため中学生が解いていた問題が,そのまま高校にシフトして高校生が解くようになっただけです。

落ち着いて考えることができれば,それほど難しい内容ではありません。

文章の意味を捉えて正確に不等式を立式できるようにしましょう。

スポンサーリンク

定期テストに出題された問題1

ヒロ
ヒロ

それでは次の問題を考えてみよう。

問題1ある数 $x$ を8倍しても100以下であるが,20倍すると200を超えるという。整数 $x$ を求めよ。
ヒロ
ヒロ

文章で表された数を式で表して不等式を立てよう。

【問題1の解答】
$x$ を8倍しても100以下であるが,20倍すると200を超えるから
\begin{align*}
\begin{cases}
8x\leqq100 ~&\cdots\cdots① \\[4pt]20x>200 ~&\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
①より $x\leqq\dfrac{25}{2}$
②より $x>10$
よって,$10<x\leqq\dfrac{25}{2}$ である。
$x$ は 整数であるから $x=11,~12$

定期テストに出題された問題2

問題2ある数に30を加えてから3倍し,その数の小数第1位を四捨五入すると,ちょうど元の数の5倍になった。その数をすべて求めよ。
ヒロ
ヒロ

「四捨五入」がポイントだね。

ヒロ
ヒロ

例えば小数第1位を四捨五入して10になる数を考えてみよう。

【四捨五入して10になる数】
小数第1位を四捨五入して10になる数を $x$ とする。
小数第1位が4以下なら切り捨てられるから,$x$ の整数部分は10でなければならないと分かる。
また小数第1位が5以上なら繰り上がるから,$x$ の整数部分は9でなければならないと分かる。
ここで,$9.5\leqq x\leqq10.4$ としてはいけない。
10.4より大きい10.42も小数第1位を四捨五入すると10になるから。つまり
\begin{align*}
9.5\leqq x<10.5
\end{align*}
とすれば良いことが分かる。また,この不等式は元の数10を使って表すと
\begin{align*}
10-\dfrac{1}{2}\leqq x<10+\dfrac{1}{2}
\end{align*}
となる。
ヒロ
ヒロ

これで四捨五入した結果が,どのような数になっても式で表すことができるね。

【問題2の考え方と解答】
ある数を $x$ とすると $3(x+30)$ の小数第1位を四捨五入すると元の数の5倍になるから,
\begin{align*}
&5x-\dfrac{1}{2}\leqq 3(x+30)<5x+\dfrac{1}{2}
\end{align*}
となる。
$5x-\dfrac{1}{2}\leqq 3(x+30)$ より
\begin{align*}
&10x-1\leqq6(x+30) \\[4pt]
&4x\leqq181 \\[4pt]
&x\leqq\dfrac{181}{4}
\end{align*}
$3(x+30)<5x+\dfrac{1}{2}$ より
\begin{align*} &6(x+30)<10x+1 \\[4pt] &179<4x \\[4pt] &\dfrac{179}{4}<x \end{align*}
以上より
\begin{align*} \dfrac{179}{4}<x\leqq\dfrac{181}{4} \end{align*}
ここで,小数第1位を四捨五入した結果が元の数の5倍,つまり $5x$ になるから,$5x$ は整数である。
\begin{align*} \dfrac{895}{4}<5x\leqq\dfrac{905}{4} \end{align*}
であるから,
\begin{align*} &5x=224,~225,~226 \\[4pt] &x=\dfrac{224}{5},~45,~\dfrac{226}{5} \end{align*}
したがって,求める数は
\begin{align*} \dfrac{224}{5},~45,~\dfrac{226}{5} \end{align*}

定期テストに出題された問題3

問題3子供たちにリンゴを配る。1人4個ずつにすると19個余るが,1人7個ずつにすると最後の子供は少なくとも1個はもらえるが7個よりは少ない。このとき子供の人数とリンゴの数を求めよ。
ヒロ
ヒロ

何を未知数 $x$ にするかを考えよう。

ヒロ
ヒロ

求めるものは,子供の人数とリンゴの数の2つあるから,2通りの解法が考えられる。

子供の人数を $x$ 人とする解法

ヒロ
ヒロ

リンゴの総数を $x$ で表すことから始めよう。

【子供の人数を $x$ 人とする解法】
リンゴを1人4個ずつ配ると19個余るから,リンゴは
\begin{align*}
4x+19~個
\end{align*}
あることが分かる。次に1人7個ずつ配るときを考える。最後の子供のもらえる個数は1個以上6個以下を取り得るから
\begin{align*}
1\leqq(最後の子供のリンゴの個数)\leqq6
\end{align*}
となることが分かる。最後の子供以外は1人7個ずつ貰っているから,その和は $7(x-1)$ 個である。リンゴは全部
で $4x+19$ 個あるから,最後の子供が貰えるリンゴの個数は
\begin{align*}
&(最後の子供が貰えるリンゴの個数) \\[4pt]
&=(リンゴの総数)-(最後の子供以外が貰うリンゴの個数) \\[4pt]
&=(4x+19)-7(x-1) \\[4pt]
&=-3x+26
\end{align*}
となる。したがって,
\begin{align*}
&1\leqq-3x+26\leqq6 \\[4pt]
&-25\leqq-3x\leqq-20 \\[4pt]
&\dfrac{20}{3}\leqq x\leqq\dfrac{25}{3}
\end{align*}
これを満たす整数 $x$ は
\begin{align*}
x=7,~8
\end{align*}
である。$x=7$ のとき,リンゴは
\begin{align*}
4\times7+19=47~個
\end{align*}
$x=8$ のとき,リンゴは
\begin{align*}
4\times8+19=51~個
\end{align*}
したがって
子供7人,リンゴ47個 または 子供8人,リンゴ51個

リンゴの数を $x$ 個とする解法

ヒロ
ヒロ

子供の人数を $x$ で表すことから始めよう。

【リンゴの個数を $x$ 個とする解法】
リンゴを1人4個ずつ配ると19個余るから,19個を除いた $x-19$ 個を1人4個ずつ配ると,$x$ 人の子供全員に4個ずつリンゴを配ることができる。よって,子供の人数は
\begin{align*}
\dfrac{x-19}{4}~人
\end{align*}
である。最後の子供に配られるリンゴは
\begin{align*}
&(最後の子供が貰えるリンゴの個数) \\[4pt]&=(リンゴの総数)-(最後の子供以外が貰うリンゴの個数) \\[4pt]&=x-7\left(\dfrac{x-19}{4}-1\right) \\[4pt]&=x-\dfrac{7(x-23)}{4} \\[4pt]&=\dfrac{-3x+161}{4}
\end{align*}
となる。したがって
\begin{align*}
&1\leqq\dfrac{-3x+161}{4}\leqq6 \\[4pt]&4\leqq-3x+161\leqq24 \\[4pt]&-157\leqq-3x\leqq-137 \\[4pt]&\dfrac{137}{3}\leqq x\leqq\dfrac{157}{3}
\end{align*}
これを満たす整数は
\begin{align*}
x=46,~47,~48,~49,~50,~51
\end{align*}
ここで,リンゴの個数 $\dfrac{x-19}{4}$ は整数であるから,$x-19$ は4の倍数である。
\begin{align*}
\begin{array}{c|cccccc}
x & 46 & 47 & 48 & 49 & 50 & 51 \\[4pt]\hline
x-19 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32
\end{array}
\end{align*}
条件を満たすのは $x=47,~51$ のときである。
したがって,子供7人,リンゴ47個 または 子供8人,リンゴ51個
ヒロ
ヒロ

この解法だと大変だね。

ヒロ
ヒロ

文章中にある2つのうち,どちらを $x$ とおくかは次のように考えよう。

不等式で $x$ とおくもの2つのもの $A,~B$ について,1つの $A$ に対して複数の $B$ を対応させる問題であれば,$A$ の個数を$x$とおくと考えやすい。
  • 卵と箱・・・箱が $x$ 個あるとおく。
  • 生徒と長いす・・・長いすが $x$ 脚あるとおく。
  • 子供とリンゴ・・・子供が $x$ 人いるとおく。
ヒロ
ヒロ

モノやヒトで $x$ とおくものを決めているわけでないことに注意しよう。

定期テストに出題された問題4

問題4冊子を生徒に配布するとき,1人5冊ずつ配ると12冊余るので,1人8冊ずつにしたら,最後の1人の分はなくならないが,1人分には足らないという。冊子の数と生徒の人数を求めよ。ただし,生徒の人数は偶数である。
ヒロ
ヒロ

これは生徒の人数を $x$ 人とおけば良いんですね!

ヒロ
ヒロ

そうだね。それで解いてみよう。

【問題4の考え方と解答】
生徒の人数を $x$ 人とすると,冊子は全部で
\begin{align*}
5x+12~(冊)
\end{align*}
あることが分かる。1人8冊ずつ配ったときを考えると
\begin{align*}
&1\leqq(5x+12)-8(x-1)\leqq7 \\[4pt]
&1\leqq-3x+20\leqq7 \\[4pt]
&-19\leqq-3x\leqq-13 \\[4pt]
&\dfrac{13}{3}\leqq x\leqq\dfrac{19}{3}
\end{align*}
$x$ は偶数だから,$x=6$ である。
よって,冊子は42冊,生徒は6人。

定期テストに出題された問題5

問題51個800円の品物がある。入会金500円を払って会員になると,この品物を $6\%$ 引きで買うことができる。入会金を払っても,何個以上買えば入会しないで買うより安くなるか。ただし,消費税は考えないものとする。
ヒロ
ヒロ

「何個以上買えば・・・」となっていても「$x$ 個買う」として考えよう。

ヒロ
ヒロ

「$x$ 個以上買う」とすると何個買うのか分からないので考えられない。

ヒロ
ヒロ

買う個数を決めた上で,別のものに対して不等式を立てて解く。

ヒロ
ヒロ

今回の場合は「入会しないで買うより安くなる」を不等式で表すことを考えよう。

【「入会しないで買うより安くなる」の意味】
入会しない場合は,入会金が不要なので
\begin{align*}
(購入代金)=800x~\cdots\cdots①
\end{align*}
入会した場合は $6\%$ 引きで買うことができるため,
\begin{align*}
(購入代金)=800x\left(1-\dfrac{6}{100}\right)+500~\cdots\cdots②
\end{align*}
入会しないで買うより安くなるのは,②が①より安いときである。
ヒロ
ヒロ

あとは不等式を立てて解くだけだね。

【問題5の解答】
品物を $x$ 個買うとき,入会しないで買うより安くなるとすると,
\begin{align*}
&800x>800x\left(1-\dfrac{6}{100}\right)+500 \\[4pt]
&0>-48x+500 \\[4pt]
&48x>500 \\[4pt]
&x>\dfrac{125}{12}\fallingdotseq10.2\cdots
\end{align*}
よって,11個以上買えば入会しないで買うより安くなる。
ヒロ
ヒロ

問題文を読んで,大小関係を表す部分について不等式を正しく立てることが大切だね。

タイトルとURLをコピーしました