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相加平均・相乗平均の不等式の証明から学ぶこととは?

相加平均・相乗平均の不等式 相加相乗平均の関係 数学IAIIB

ここでは不等式の証明について説明します。「不等式の証明なんて大きい方から小さい方を引いて0以上,あるいは,正であることを示すだけでしょ」って言われそうですが,それが分かっていても解けない問題ってありますよね?

しっかりとした考え方を身に付けることで,様々な問題に対応することができます。

題材として,相加平均・相乗平均の不等式の証明が出題されている2011年新潟大の問題を使いますが,(3)はそのままだと面白くないので変えました。

2011年 新潟大(改)a, b, c, d を正の実数とする。このとき,次の不等式を証明せよ。
(1) aba+b2(2) 4abcda+b+c+d4(3) 3abca+b+c3
ヒロ
ヒロ

これらは「相加平均と相乗平均の不等式」と呼ばれる有名な不等式で,関連する問題は毎年どこかの大学で出題されているよ。

プリントを次のリンクからダウンロードできます。

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不等式 AB の証明方法

ヒロ
ヒロ

まずは軽く不等式の証明方法について復習しておこうか。

はい,お願いします。

ヒロ
ヒロ

不等式の証明の基本はこれだね。

不等式 AB を証明するときは AB0 を証明しよう。

そうですね!

ヒロ
ヒロ

ただ実際に色々な問題を解いてみると,中々うまくいかないことが多いよね?

そうなんですよね・・・

ヒロ
ヒロ

だから,他にも基本的な証明方法を知っておこう。

不等式 AB の証明方法
  1. AB0 を証明する。
  2. A0, B0 のときは,A2B20 を証明しても良い。
  3. 既に知られている不等式を利用する。
  4. AC かつ CB となる C を見つける。
ヒロ
ヒロ

平方根や絶対値を含む不等式の証明では,2番目の証明方法が良く使われるね。3番目は「相加平均と相乗平均の不等式」や「コーシー・シュワルツの不等式」などを利用する証明方法だね。

4番目は見たことないです。

ヒロ
ヒロ

不等式の証明方法として,4番目を習うことはないかもしれないけど,かなり重要な考え方だよ。だから今日は4番目の考え方について重点的に説明していくよ。

よろしくお願いします。

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