ここでは不等式の証明について説明します。「不等式の証明なんて大きい方から小さい方を引いて0以上,あるいは,正であることを示すだけでしょ」って言われそうですが,それが分かっていても解けない問題ってありますよね?
しっかりとした考え方を身に付けることで,様々な問題に対応することができます。
題材として,相加平均・相乗平均の不等式の証明が出題されている2011年新潟大の問題を使いますが,(3)はそのままだと面白くないので変えました。
2011年 新潟大(改)a, b, c, d を正の実数とする。このとき,次の不等式を証明せよ。
(1) √ab≦a+b2(2) 4√abcd≦a+b+c+d4(3) 3√abc≦a+b+c3
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ヒロ
これらは「相加平均と相乗平均の不等式」と呼ばれる有名な不等式で,関連する問題は毎年どこかの大学で出題されているよ。
プリントを次のリンクからダウンロードできます。
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不等式 A≧B の証明方法
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ヒロ
まずは軽く不等式の証明方法について復習しておこうか。
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はい,お願いします。
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ヒロ
不等式の証明の基本はこれだね。
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そうですね!
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ヒロ
ただ実際に色々な問題を解いてみると,中々うまくいかないことが多いよね?
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そうなんですよね・・・
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ヒロ
だから,他にも基本的な証明方法を知っておこう。
不等式 A≧B の証明方法
- A−B≧0 を証明する。
- A≧0, B≧0 のときは,A2−B2≧0 を証明しても良い。
- 既に知られている不等式を利用する。
- A≧C かつ C≧B となる C を見つける。
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ヒロ
平方根や絶対値を含む不等式の証明では,2番目の証明方法が良く使われるね。3番目は「相加平均と相乗平均の不等式」や「コーシー・シュワルツの不等式」などを利用する証明方法だね。
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4番目は見たことないです。
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ヒロ
不等式の証明方法として,4番目を習うことはないかもしれないけど,かなり重要な考え方だよ。だから今日は4番目の考え方について重点的に説明していくよ。
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よろしくお願いします。