相加平均・相乗平均の不等式の証明から学ぶこととは？

Contents

$\displaystyle\,\sqrt{ab}\leqq\frac{a+b}{2}\,$ の正体とは？

ヒロ

それでは(1)を証明していこう。

$\sqrt{ab}\leqq\dfrac{a+b}{2}$ を証明せよ。

これは $\,(右辺)^2-(左辺)^2\geqq0\,$ を証明するんですよね？

【(1)の証明】
$\,a\geqq0,~b\geqq0\,$ のとき，$\,\displaystyle\sqrt{ab}\geqq0,~\frac{a+b}{2}\geqq0\,$ であるから，$\,(右辺)^2-(左辺)^2\geqq0\,$ を証明する。

\begin{align*}
&(右辺)^2-(左辺)^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-(\sqrt{ab})^2 \\[4pt]
&=\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2)-ab \\[4pt]
&=\frac{1}{4}(a^2-2ab+b^2) \\[4pt]
&=\frac{1}{4}(a-b)^2 \\[4pt]
&\geqq0
\end{align*}

よって，$\displaystyle\,\sqrt{ab}\leqq\frac{a+b}{2}\,$ が成り立つ。また，等号が成り立つのは，$\,(a-b)^2=0\,$のとき，すなわち，$\,a=b\,$ のとき。

ヒロ

平方根があるからって，常に２乗して差をとる必要はないよ？次のようにしても構わない。

【(1)の証明Ⅱ】

\begin{align*}
&(右辺)-(左辺)=\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \\[4pt]
&=\frac{1}{2}(a-2\sqrt{ab}+b) \\[4pt]
&=\frac{1}{2}(\ssqrt{a}-\ssqrt{b})^2 \\[4pt]
&\geqq0
\end{align*}

よって，$\displaystyle\,\sqrt{ab}\leqq\frac{a+b}{2}\,$ が成り立つ。また，等号が成り立つのは，$\,(\ssqrt{a}-\ssqrt{b})^2=0\,$ のとき，すなわち，$\,a=b\,$ のとき。