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【数学IA】重複順列の場合の数の求め方

重複順列数学IAIIB
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ここでは同じものを繰り返し使っても良い場合の順列について説明します。

例えば1, 2, 3の3つの数字を使ってできる整数を考えると,3桁の整数を作る場合であっても,1回しか使えない場合より多くの整数を作ることができるようになります。

実際,百の位・十の位・一の位の数字の選び方はそれぞれ1, 2, 3の3通りあるから,$3^3=27$ 個の整数を作ることができます。

この簡単な例を一般化すると次のようになります。

重複順列$n$ 個から $r$ 個取る重複順列の総数は $n^r$ 通り

ただ単に公式を暗記するだけだと「この問題では何が $n$ で何が $r$ なんですか?」などとトンチンカンな質問をすることになってしまいます。

1つずつ考えて積の法則を利用すれば良いだけなので,丁寧に考えるようにしましょう。

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定期テストで出題された問題

ヒロ
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それでは実際に定期テストで出題された問題を解いてみよう。

問題1, 2, 3, 4, 5, 6の6種類の数字を用いてできる3桁の整数は何個あるか。ただし同じ数字を重複して用いても良いとする。
ヒロ
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「同じ数字を重複して用いても良い」ことを考えて解こう。

【考え方と解答】
公式にある $n$ と $r$ を特に意識する必要はない。
いまは0を含まないため,各位の条件に強弱はないため,百の位→十の位→一の位と考えていく。
同じ数字を重複して用いても良いから,各位の数字の選び方は6通りあるから,
\begin{align*}
6\times6\times6=216~個
\end{align*}
ヒロ
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$6^3=216$ は良く出てくるので値を覚えておこう。

定期テストで出題された問題2

ヒロ
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次も定期テストで出題された問題。

問題6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って4桁の5の倍数は何個あるか。ただし同じ数字を重複して用いても良いとする。
ヒロ
ヒロ

「5の倍数」の条件を確認しておこう。

一の位が0または5であるとき,5の倍数になる。
【考え方と解答】
同じ数字を重複して使えるから,関係ないが,条件が強い一の位から考える。
一の位は0または5の2通り。千の位は1, 2, 3, 4, 5の5通り。百の位と十の位は6個の数字から選んで並べるから,$6^2$ 通り。よって,
\begin{align*}
2\times5\times6^2=360~個
\end{align*}

定期テストで出題された問題3

ヒロ
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次も定期テストで出題された問題。

問題(1) 8人をA, Bの2部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし,空き部屋があってもよいものとする。
(2) 8人をA, Bの2部屋に空き部屋がないように入れる方法は何通りあるか。
(3) 8人を区別しない2つの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし,それぞれの部屋に少なくとも1人は入れるものとする。
ヒロ
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(1)から考えよう。

ヒロ
ヒロ

良く分からずに公式を暗記している人にとっては,$8^2$ と $2^8$ のどちらが答えなんだろうかと悩むのだろう。

ヒロ
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ちゃんと考えられるようにしておこう。

【(1)の考え方と解答】
実際に自分の目の前に8人が並んでいて,あなたが8人をA, Bの2部屋に入れる状況を想像しよう。
1人ずつ「あなたはAとBのどちらの部屋に入りますか?」と聞いていけば良いね。細かく言うと,1人目がAかBかの2通りの選択肢があり,その選択に応じて,2人目もAかBの2通りの選択肢がある。また,その選択に応じて・・・という風に8人目まで続く。
また,8人全員が「Aに入る」という選択をした場合はBが空き部屋になるが,これも許されているから何も問題はない。
よって,入れ方は全部で
\begin{align*}
2^8=256~通り
\end{align*}
ヒロ
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(2)は空き部屋はダメということに注意しよう。

【(2)の考え方と解答】
(1)から8人全員がAに入るときと8人全員がBに入るときの2通りを除けば良いから
\begin{align*}
256-2=254~通り
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(3)は部屋に名前がないことに注意しよう。

【(3)の考え方と解答】
(2)の254通りのうちの1つの入れ方に着目したとき,それぞれの部屋に入る人を変えずに部屋を入れ換えただけの入れ方が存在する。部屋の区別をなくした場合は,その2つの入れ方を1通りとすることになるから,求める場合の数は
\begin{align*}
\dfrac{254}{2}=127~通り
\end{align*}
ヒロ
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所謂グループ分け・組み分けの問題をパターン別に克服したい人は次の2つの記事を読むことで解決するだろう。

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