Contents
- ページ1
- 1 因数定理とは
- ページ2
- 1 因数定理を理解しよう
- ページ3
- 1 因数を見つける方法
- ページ4
- 1 因数定理を利用して因数分解しよう
- ページ5
- 1 因数分解の入試問題
因数定理を利用して因数分解しよう
2015年 中央大次の式を因数分解せよ。
\begin{align*}
2x^3+15x^2+6x-7
\end{align*}
2x^3+15x^2+6x-7
\end{align*}
【考え方と解答】
定数項の $-7$ の約数 $\pm1,~\pm7$ を代入して，与式が0になる値を探す。与式を $f(x)$ として，$x=-1$ を代入すると
多項式の割り算の方法には，主に「筆算」「組立除法」「暗算」の3つの方法がある。今回は暗算でサクサク計算していくことにする。
定数項の $-7$ の約数 $\pm1,~\pm7$ を代入して，与式が0になる値を探す。与式を $f(x)$ として，$x=-1$ を代入すると
\begin{align*}
f(-1)=-2+15-6-7=0
\end{align*}
となるから，$f(x)$ は $x+1$ を因数にもつことが分かる。$f(x)\div(x+1)$ を計算して因数分解しよう。f(-1)=-2+15-6-7=0
\end{align*}
多項式の割り算の方法には，主に「筆算」「組立除法」「暗算」の3つの方法がある。今回は暗算でサクサク計算していくことにする。
\begin{align*}
&2x^3+15x^2+6x-7 \\[4pt]
&=(x+1)(2x^2+13x-7) \\[4pt]
&=(x+1)(x+7)(2x-1)
\end{align*}
&2x^3+15x^2+6x-7 \\[4pt]
&=(x+1)(2x^2+13x-7) \\[4pt]
&=(x+1)(x+7)(2x-1)
\end{align*}
ヒロ
通常は「組立除法は1次式で割るときにしか使えない」と言われるが，2次以上の割り算でも使える「スーパー組立除法」というものが存在する。組立除法を極めたい人は，次の記事を参考にすると良いだろう。
ヒロ
次の記事を読むことで，多項式の除法を暗算ですることができるようになるだろう。
ヒロ
今回は，最初に $-1$ を代入したことで，$x+1$ を因数にもつことが分かった。しかし，因数分解の結果から $-7$ や $\dfrac{1}{2}$ を代入しても，うまくいくことが分かる。
ヒロ
暗算やスーパー組立除法の練習として，与式を $2x-1$ で割るのも良いだろう。