休校だからこそ重要な自宅学習

多項式の除法を暗算でする方法とは?

多項式の除法を暗算でする方法数学IAIIB
スポンサーリンク

多項式の除法の方法には,筆算・組立除法・暗算の3つの方法があります。筆算・組立除法でも面倒だなぁと感じる人は暗算で割り算を出来るようにしましょう。

筆算や組立除法より速くなる可能性があります。ここでは多項式の除法を暗算でする方法について説明します。

問題$x^3-5x^2+3x+4$ を $x^2-2x+3$ で割ったときの商と余りを求めよ。
スポンサーリンク

暗算による除法

ヒロ
ヒロ

まずは基礎の確認をしておこう。商と余りはそれぞれ何次式か分かる?

3次式を2次式で割っているから,商は1次式で,商は1次式か定数ですね。

ヒロ
ヒロ

そうだね。あとは割られる式と割る式,商,余りの関係を確認しておこうか。

$\displaystyle
(割られる式)=(割る式)\times(商)+(余り)
$
ヒロ
ヒロ

ということで・・・

\begin{align*}
x^3-5x^2+3x+4=(x^2-2x+3)(\diamondsuit x+\heartsuit)+\spadesuit x+\clubsuit
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

こんな風に表すことができるはずだよね?

そうですね。

ヒロ
ヒロ

まずは $\diamondsuit$ から考えよう。

ヒロ
ヒロ

右辺を展開すると,当然左辺になるよね。右辺の括弧の中の最高次どうしの積が左辺の最高次になるから,$\diamondsuit=1$ と分かるはず。

\begin{align*}
x^3-5x^2+3x+4=(x^2-2x+3)(x+\heartsuit)+\spadesuit x+\clubsuit
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次に $\heartsuit$ を求めよう。そのために,$x^2$ の項に着目しよう。

多項式の除法 暗算
ヒロ
ヒロ

$-2+\heartsuit=-5$ となるように $\heartsuit$ を決めればいいよね?

$\heartsuit=-3$ ですね!

ヒロ
ヒロ

そうだね。この時点でこうなる。

\begin{align*}
x^3-5x^2+3x+4=(x^2-2x+3)(x-3)+\spadesuit x+\clubsuit
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

あとは余りだね。$x$ の項に着目しよう。

多項式の除法 暗算
ヒロ
ヒロ

$3=6+3+\spadesuit$ となるように $\spadesuit$ を決めると,$\spadesuit=-6$ となるね。

\begin{align*}
x^3-5x^2+3x+4=(x^2-2x+3)(x-3)-6x+\clubsuit
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後は余りの定数項 $\clubsuit$ だね。これは定数項に着目しよう。

多項式の除法 暗算
ヒロ
ヒロ

$4=-9+\clubsuit$ となるように $\clubsuit$ を決めると,$\clubsuit=13$ となるね。

\begin{align*}
x^3-5x^2+3x+4=(x^2-2x+3)(x-3)-6x+13
\end{align*}

ということで,商は $x-3$,余りは $-6x+13$ ですね。

ヒロ
ヒロ

慣れれば組立除法を使うより速く計算できるようになるよ。

頑張ります!

練習

ヒロ
ヒロ

じゃあ軽く練習しておこう。

2018年 明治薬科大・後期整式 $x^4-2x^3+x-2$ を整式 $P(x)$ で割ると商が $x^2+1$,余りは $3x-1$ であるという。このとき $P(x)=\myBox{(a)}$ である。

まず問題文の条件を等式で表すとこうなります。

\begin{align*}
x^4-2x^3+x-2=P(x)(x^2+1)+3x-1
\end{align*}

これを変形して・・・

\begin{align*}
P(x)(x^2+1)=x^4-2x^3-2x-1
\end{align*}

こうなるから,$x^4-2x^3-2x-1$ を $x^2+1$ で割れば $P(x)$ が求まります。

多項式の除法 暗算

最後に計算が合ってるか確認しておきます。

多項式の除法 暗算

ということで,$P(x)=x^2-2x-1$ ですね。

ヒロ
ヒロ

オッケーだね。

まとめ

ヒロ
ヒロ

多項式の除法には,3つの方法があるけど,より速い方法でできるようにしよう。

多項式の除法の3つの方法
  1. 筆算
  2. 組立除法
  3. 暗算
ヒロ
ヒロ

ただし,何より重要なのは正確さいくら速くても間違いが多いのでは意味がないから注意しよう!

タイトルとURLをコピーしました