【数学ⅡB】3次関数のグラフに引ける接線の本数【西南学院大】

3次関数のグラフに引ける接線の本数について説明します。

　一般に，ある関数のグラフの接線を考える場合，接点の座標が重要です。例えば接点をPとすると，点Pの座標とP点における微分係数を求めることによって，点Pにおける接線の方程式を求めることができます。つまり，接点Pの座標が分かっていれば，接線の方程式を求めることは比較的簡単ということです。

　しかし，グラフ上にない点Aから接線を引くことは難しいです。それはどこで接するか分からないからです。この場合は考え方を逆にします。つまり「グラフ上の点Pにおける接線が点Aを通る」と考えます。この逆に考える方法を知ることで解ける問題が増えるでしょう。

2021年西南学院大

2021年西南学院大曲線 $C:y=x^3+9x^2-15x$ の接線で点 $(1,~a)$ を通る直線が3本存在するとき，$a$ が満たす範囲を求めよ。

【解答と考え方】
　接点をPとし，その $x$ 座標を $t$ とする。$y=x^3+9x^2-15x$ のとき

\begin{align*}
y’=3x^2+18x-15
\end{align*}

であるから，点Pにおける接線の方程式は次のようになる。

\begin{align*}
y&=(3t^2+18t-15)(x-t)+t^3+9t^2-15t \\[4pt]&=(3t^2+18t-15)x-2t^3-9t^2
\end{align*}

この接線が点 $(1,~a)$ を通るとき

\begin{align*}
&a=(3t^2+18t-15)-2t^3-9t^2 \\[4pt]&a=-2t^3-6t^2+18t-15~\cdots\cdots①
\end{align*}

ここで，問題文の意味をしっかり考えよう。「曲線 $C$ の接線で点 $(1,~a)$ を通る直線が3本存在する」ということは，「接点も3個存在する」はずである。つまり，接点の $x$ 座標が3個存在する。さらに言い換えると，$t$ についての方程式①が異なる3つの実数解をもつといえる。
　①が異なる3つの実数解をもつのは，$y=a$ のグラフと $y=-2t^3-6t^2+18t-15$ のグラフが異なる3つの共有点をもつときである。
　$f(t)=-2t^3-6t^2+18t-15$ とおくと

\begin{align*}
f'(t)&=-6t^2-12t+18 \\[4pt]&=-6(t^2+2t-3) \\[4pt]&=-6(t+3)(t-1)
\end{align*}

$f'(t)=0$ とすると，$t=-3,~1$
よって，$f(t)$ の増減は次のようになる。

\begin{align*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
t & \cdots & -3 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline
f'(t) & – & 0 & + & 0 & – \\\hline
f(t) & \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow \\\hline
\end{array}
\end{align*}

ここで

\begin{align*}
&f(-3)=54-54-54-15=-69 \\[4pt]&f(1)=-2-6+18-15=-5
\end{align*}

となるから，$y=f(t)$ のグラフは次のようになる。

$y=f(t)$ のグラフと $y=a$ のグラフが異なる3つの共有点をもつときを考えると，求める $a$ の値の範囲は $-69<a<-5$ となる。

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2021年西南学院大