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じゃんけんに関する確率

じゃんけんに関する確率数学IAIIB
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ここではじゃんけんに関する確率について解説します。

じゃんけんに関する確率は大学入試に良く出る頻出問題です。

じゃんけんをする人数は2人のときと3人のときが良く出題されますが,$n$ 人でじゃんけんをする問題もあります。

じゃんけんをする回数は具体的な1回,2回だけでなく,$n$ 回のように文字になっているものや,じゃんけんを辞める回数がある条件をみたすまで(回数が変化する)という問題もあります。

様々な問題がありますが,考え方を理解してじゃんけんに関する確率に強くなりましょう。

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2人でじゃんけんをするときの確率

問題A, Bの2人がじゃんけんをするとき,次の確率を求めよ。
(1) Aが勝つ確率
(2) あいこになる確率
じゃんけんで勝者がいるときに考えることは次の2つ。
 ① 誰が勝つか
 ② どの手で勝つか
【(1)の考え方と解答】
2人の手の出し方は全部で $3^2=9$ 通り。
誰が勝つか(①)は「Aが勝つ」と決まっているからどの手で勝つか(②)を考える。Aが勝つとき,その手の出し方はグー,チョキ,パーの3通りあるから,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}

(2) あいこになる確率

【(2)の考え方と解答】
2人がじゃんけんをするときにあいこになるのは,2人が同じ手を出すときで,グー,チョキ,パーの3通りあるから,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}

3人でじゃんけんをするときの確率

問題A, B, Cの3人がじゃんけんをするとき,次の確率を求めよ。
(1) 1人だけが勝つ確率
(2) あいこになる確率
【(1)の考え方と解答】
3人でじゃんけんをするとき,手の出し方は全部で $3^3=27$ 通り。
1人だけが勝つとき,
 ① 誰が勝つか
 ② その手は何か
に着目すると,①はA, B, Cの3通りあり,②の勝つときの手の出し方はグー,チョキ,パーの3通りあるから,$3\times3=9$ 通り。
したがって,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}

(2) あいこになる確率

【(2)の考え方と解答】
3人でじゃんけんをするときにあいこになるのは,次の2つの場合がある。
 (i) 3人が同じ手を出すとき
 (ii) 3人の手がすべて異なるとき
(i)の手の出し方は,グー,チョキ,パーの3通り。
(ii)の手の出し方は,3つの異なる手(グー,チョキ,パー)の並べ方に等しく $3!=6$ 通り。
(i), (ii)より,3人でじゃんけんをしてあいこになる手の出し方は
\begin{align*}
3+6=9~通り
\end{align*}
したがって,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

別の考え方もできるようにしておこう。

【別の考え方と解答】
余事象を考えると,あいこにならないのは,次の2つの場合がある。
 (i) 1人だけが勝つとき
 (ii) 2人が勝つとき
当然であるが,3人でじゃんけんをして「3人とも勝つ」なんてことは起こらない。また「2人が勝つとき」は「1人だけが負けるとき」と同じことであることにも注意しよう。
(i)については(1)で求めたように,その確率は $\dfrac{1}{3}$ である。
また(ii)は「1人だけが負けるとき」であり,負ける人とその手に着目すれば「1人だけが勝つとき」と同じ確率であることが簡単に分かるから,このときの確率も $\dfrac{1}{3}$ である。
したがって,3人でじゃんけんをしてあいこにならない確率は
\begin{align*}
\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}
\end{align*}
よって,3人でじゃんけんをしてあいこになる確率は
\begin{align*}
1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}

3人でじゃんけんをするときの確率2

問題3人でじゃんけんをする。一度じゃんけんで負けたものは,以後のじゃんけんから抜けるものとする。このとき,じゃんけんを2回行っても,勝者が1人に決まらない確率を求めよ。ただし,あいこも1回のじゃんけんとして数える。
【考え方と解答】
勝者が1人に決まらないということは,2回じゃんけんをしたあとに残っている人数は2人か3人のどちらかである。つまり,じゃんけんをする人数の推移は次の3つの場合に限られる。
 (i) 3人→3人→3人
 (ii) 3人→3人→2人
 (iii) 3人→2人→2人
ここで,1回のじゃんけんで $a$ 人から $b$ 人になる確率を $P(a~人\to b~人)$ と表すことにする。
3人→3人となるのは,3人でじゃんけんを1回してあいこになるときである。3人とも同じ手を出すか,グー・チョキ・パーが揃うときだから,その確率は
\begin{align*}
P(3人\to 3人)&=\dfrac{3+3!}{3^3} \\[4pt]
&=\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}
である。また,3人→2人となるのは,3人でじゃんけんを1回して1人だけ負けるときである。負ける人とその手に着目すると,その確率は
\begin{align*}
P(3人\to 2人)=\dfrac{3\Cdot3}{3^3}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}
2人→2人となるのは,2人でじゃんけんを1回してあいこになるときである。2人の手が同じときであるから,その確率は
\begin{align*}
P(2人\to 2人)=\dfrac{3}{3^2}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}
(i)のときの確率は
\begin{align*}
P(3人\to 3人)\times P(3人\to 3人)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}
\end{align*}
(ii)のときの確率は
\begin{align*}
P(3人\to 3人)\times P(3人\to 2人)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}
\end{align*}
(iii)のときの確率は
\begin{align*}
P(3人\to 2人)\times P(2人\to 2人)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}
\end{align*}
(i)~(iii)より,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}

4人でじゃんけんをするときの確率

問題4人がじゃんけんを1回するとき,次の確率を求めよ。
(1) 1人だけが勝つ確率
(2) あいこになる確率
【(1)の考え方と解答】
4人でじゃんけんをするとき,手の出し方は全部で $3^4=81$ 通り。
1人だけが勝つとき,
 ① 誰が勝つか
 ② その手は何か
に着目すると,①の勝者の選び方は4通りあり,②の勝者の出す手はグー,チョキ,パーの3通りあるから,$4\times3=12$ 通り。
したがって,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{12}{81}=\dfrac{4}{27}
\end{align*}

(2) あいこになる確率

【(2)の考え方と解答】
4人でじゃんけんをするときにあいこになるのは,次の2つの場合がある。
 (i) 4人が同じ手を出すとき
 (ii) 4人の手がすべて異なるとき
(i)の手の出し方は,グー,チョキ,パーの3通り。
(ii)のときの手の出し方の場合の数を考える。
じゃんけんでは手の出し方が3通りしかないから,4人のうち2人が同じ手を出すことになる。
具体例としてはグー・グー・チョキ・パーとなるときがある。手の組み合わせとしては3通りあるが,誰がどの手を出すかを考える必要がある。4人をA, B, C, Dとして4つの手を並べたとき,左から順にA, B, C, Dとすれば重複なく数えることができる。
それは同じものを2つ含む4つのものの並べ方の総数に等しく
\begin{align*}
\dfrac{4!}{2!}=12~通り
\end{align*}
であるから,(ii)のときの手の出し方は $3\times12=36$ 通り。
(i), (ii)より,4人でじゃんけんをしてあいこになる手の出し方は
\begin{align*}
3+36=39~通り
\end{align*}
したがって,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{39}{81}=\dfrac{13}{27}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

余事象を用いた考え方も理解しておこう。

【別の考え方と解答】
4人でじゃんけんをしてあいこにならないのは,4人の手が2種類の手のときである。つまり,次の2つの場合に限られる。
 (i) 2人ずつ同じ手を出す
 (ii) 3人が同じ手を出して1人が3人とは異なる手を出す
(i)のとき,4人の手を○○△△とすると,○と△の手の決め方が $\nCk{3}{2}=3$ 通りあり,並べ方が $\dfrac{4!}{2!2!}=6$ 通りあるから,手の出し方は
\begin{align*}
3\times6=18~通り
\end{align*}
(ii)のとき,4人の手を○○○△とすると,○と△の手の決め方が $3\Cdota2=6$ 通りあり,並べ方が $\dfrac{4!}{3!}=4$ 通りあるから,手の出し方は
\begin{align*}
6\times4=24~通り
\end{align*}
(i), (ii)より,4人でじゃんけんをしてあいこにならない確率は
\begin{align*}
\dfrac{18+24}{3^4}=\dfrac{42}{3^4}=\dfrac{14}{27}
\end{align*}
したがって,4人でじゃんけんをしてあいこになる確率は
\begin{align*}
1-\dfrac{14}{27}=\dfrac{13}{27}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

あいこにならないときの手の出し方を場合分けせずに求めることもできる。

【別の考え方を工夫する】
4人でじゃんけんをしてあいこにならないのは,4人の手が2種類のときであり,その選び方は $\nCk{3}{2}=3$ 通りである。具体的には(グー,チョキ),(チョキ,パー),(パー,グー)である。
例えば4人の手がグーとチョキだけだった場合を考える。
4人それぞれが出せる手は2通りだから,全部で $2^4=16$ 通りの手の出し方がある。しかし,この中には全員がグーを出すときと全員がチョキを出すときの2通りが含まれているから,この2通りを除いて $16-2=14$ 通りの手の出し方がある。
したがって,4人でじゃんけんをしてあいこにならない確率は
\begin{align*}
\dfrac{3\Cdot14}{3^4}=\dfrac{14}{27}
\end{align*}
となるから,求める確率は
\begin{align*}
1-\dfrac{14}{27}=\dfrac{13}{27}
\end{align*}

$n$ 人でじゃんけんをするときの確率

問題$n$ 人でじゃんけんを1回するとき,あいこになる確率 $p_n$ を求めよ。
【考え方と解答】
じゃんけんをする人数が3人や4人のときは,あいこになる手の出し方をそのまま考えることが比較的簡単であった。しかし,じゃんけんをする人数が $n$ 人となると,全員が同じ手を出すときは,これまでと同様に3通りしかないが,3種類の手が揃うときを数えるのは至難の業である。
したがって,あいこにならないときの手の出し方を考える。2種類の手の組み合わせは3通りある。$n$ 人それぞれが出す手は2通りで,全員が同じ手になる場合の2通りを除くと,$2^n-2$ 通り。よって,$n$ でじゃんけんを1回してあいこにならない確率は
\begin{align*}
\dfrac{3(2^n-2)}{3^n}=\dfrac{2^n-2}{3^{n-1}}
\end{align*}
となるから,求める確率 $p_n$ は
\begin{align*}
p_n&=1-\dfrac{2^n-2}{3^{n-1}} \\[4pt]
&=\dfrac{3^{n-1}-2^n+2}{3^{n-1}}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

あいこにならないときは,当然であるが,誰かが勝つことになる。

ヒロ
ヒロ

「1人だけが勝つとき,2人が勝つとき・・・とそれぞれの確率を求めて和をとることであいこにならないときの確率を求めることができるはず。」と考えた人もいるだろう。

【別の考え方と解答】
$n$ 人でじゃんけんを1回して,$k~(k=1,~2,~\cdots,~n-1)$ 人が勝ったとする。$k$ 人の選び方が $\nCk{n}{k}$ 通りあり,勝つ手の出し方が3通りあるから,その確率は
\begin{align*}
\dfrac{\nCk{n}{k}\Cdot3}{3^n}=\dfrac{\nCk{n}{k}}{3^{n-1}}
\end{align*}
あいこにならない確率は $k=1,~2,~\cdots,~n-1$ として加えたものだから
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n-1}\dfrac{\nCk{n}{k}}{3^{n-1}}&=\dfrac{1}{3^{n-1}}\left(\Sum{k=0}{n}\nCk{n}{k}-\nCk{n}{0}-\nCk{n}{n}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{2^n-2}{3^{n-1}}
\end{align*}
したがって,求める確率 $p_n$ は
\begin{align*}
p_n&=1-\dfrac{2^n-2}{3^{n-1}} \\[4pt]
&=\dfrac{3^{n-1}-2^n+2}{3^{n-1}}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

二項係数の和については,次の記事で詳しく説明している。

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