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4点の座標が与えられたときの四面体の体積の求め方とは?

四面体の体積数学IAIIB
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外積の求め方の記事の最後で,四面体の体積を求める公式について少し触れました。今回は入試問題で出題されている四面体の体積を求めてみましょう。

実際の解答用紙に,外積を利用したことを書くのは気が引けますよね。そこで,外積を利用したときでも,その痕跡を残さず,減点されないような解答の書き方についても説明します。

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2018年 山口大・前期

ヒロ
ヒロ

まずはこの問題を解いてみよう!

2018年 山口大・前期空間内の3点 $\mathrm{A}(1,3,-2)$,$\mathrm{B}(3,2,-1)$,$\mathrm{C}(2,1,3)$ について,次の問いに答えなさい。
(1) $\angle\mathrm{BAC}=\theta$ とするとき,$\cos\theta$ の値を求めなさい。
(2) $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積 $S$ を求めなさい。
(3) $\triangle\mathrm{ABC}$ を含む平面に垂直なベクトルを $(x,y,1)$ と表すとき,$x,y$ の値をそれぞれ求めなさい。
(4) 原点をOとするとき,四面体OABCの体積 $V$ を求めなさい。

まずは(1)から。ベクトルで $\cos\theta$ といえば内積です!

$\Vec{AB}=(2,-1,1),~\Vec{AC}=(1,-2,5)$ より
\begin{align*}
\begin{cases}
\abs{\Vec{AB}}=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6} \\[4pt]\abs{\Vec{AC}}=\sqrt{1^2+(-2)^2+5^2}=\sqrt{30} \\[4pt]\Vec{AB}\Cdot\Vec{AC}=2\Cdot1+(-1)\Cdot(-2)+1\Cdot5=9
\end{cases}
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
\cos\theta&=\dfrac{\Vec{AB}\Cdot\Vec{AC}}{\abs{\Vec{AB}}\abs{\Vec{AC}}} \\[4pt]&=\dfrac{9}{\sqrt{6}\sqrt{30}}=\dfrac{9}{6\sqrt{5}} \\[4pt]&=\dfrac{3}{2\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}
\end{align*}

(2)は $\sin\theta$ を求めて,面積公式を使えば良いはずです。

\begin{align*}
\sin\theta&=\sqrt{1-\cos^2\theta} \\[4pt]&=\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{2\sqrt{5}}\right)^2} \\[4pt]&=\sqrt{1-\dfrac{9}{20}}=\dfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}
\end{align*}
となるから,
\begin{align*}
S&=\dfrac{1}{2}\abs{\Vec{AB}}\abs{\Vec{AC}}\sin\theta \\[4pt]&=\dfrac{1}{2}\Cdota\sqrt{6}\Cdota\sqrt{30}\Cdota\dfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}} \\[4pt]&=\dfrac{3\sqrt{11}}{2}
\end{align*}

(3)は $z$ 成分が1と決められているので,内積が0になることを利用して,連立方程式を解けば良いはずです。

$\vec{n}=(x,y,1)$ とおく。条件より $\vec{n}\Cdot\Vec{AB}=0$,$\vec{n}\Cdot\Vec{AC}=0$ であるから,
\begin{align*}
\begin{cases}
2x-y+1=0 \\[4pt]x-2y+5=0
\end{cases}
\end{align*}
これを解いて,$x=1,y=3$

最後は内積の図形的意味を利用すればできるはずです。

原点Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする。
四面体OABC
$\vec{n}=(1,3,1)$ より,$\abs{\vec{n}}=\sqrt{11}$ であるから,内積の図形的意味を考えると,
\begin{align*}
\mathrm{OH}&=\abs{\dfrac{\vec{n}}{\abs{\vec{n}}}\Cdota\Vec{OA}} \\[4pt]&=\abs{\dfrac{1\Cdot 1+3\Cdot 3+1\Cdot (-2)}{\sqrt{11}}} \\[4pt]&=\dfrac{8}{\sqrt{11}}
\end{align*}
よって,求める体積 $V$ は
\begin{align*}
V&=\dfrac{1}{3}\Cdota S\Cdota\mathrm{OH} \\[4pt]&=\dfrac{1}{3}\Cdota\dfrac{3\sqrt{11}}{2}\Cdota\dfrac{8}{\sqrt{11}} \\[4pt]&=4
\end{align*}

出来ました!

ヒロ
ヒロ

じゃあもう1問いってみよう!

2018年 熊本大・前期

2018年 熊本大・前期$t$ を実数とする。空間の4点 $\mathrm{A}(1,5,0)$,$\mathrm{B}(4,2,0)$,$\mathrm{C}(t,2t,t-1)$,$\mathrm{D}(1,6,1)$ について,$\angle\mathrm{BAC}$ が直角であるとき,以下の問いに答えよ。
(1) $t$ の値を求めよ。
(2) DからA,B,Cを通る平面に垂線を下ろし,A,B,Cを通る平面との交点をHとする。$\Vec{HD}$ を求めよ。
(3) 四面体ABCDの体積を求めよ。

解いていきます!

(1)は「$\angle\mathrm{BAC}$ が直角」とあるから,これをベクトルで表すと $\Vec{AB}\perp\Vec{AC}$ となるので,内積で処理すれば解けるはずですね。

\begin{align*}
\Vec{AB}=(3,-3,0)=3(1,-1,0),~\Vec{AC}=(t-1,2t-5,t-1)
\end{align*}
であり,条件より,$\Vec{AB}\Cdot\Vec{AC}=0$ となるから,
\begin{align*}
&(t-1)-(2t-5)=0 \\
&t=4
\end{align*}

(2)は・・・・

四面体ABCDと平面ABCに垂直な単位ベクトル
平面ABCに垂直な単位ベクトルを $\vec{n}$ とすると,DHは $\abs{\vec{n}\Cdot\Vec{AD}}$ で表せるけど,外積使って良いのかな・・・
四面体ABCDとベクトルHD
$t=4$ のとき,$\Vec{AC}=(3,3,3)=3(1,1,1)$ となる。
$\vec{b}=(1,-1,0),~\vec{c}=(1,1,1)$ とすると,
\begin{align*}
&\vec{b}\times\vec{c}=(-1,-1,2) \\[4pt]&\abs{\vec{b}\times\vec{c}}=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6}
\end{align*}
$\Vec{AD}=(0,1,1)$ であるから
\begin{align*}
\mathrm{DH}&=\abs{\dfrac{1}{\sqrt{6}}(\vec{b}\times\vec{c})\Cdota\Vec{AD}} \\[4pt]&=\abs{\dfrac{0-1+2}{\sqrt{6}}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
\Vec{HD}&=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\Cdota\dfrac{1}{\sqrt{6}}(-1,-1,2) \\[4pt]&=\left(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{3}\right)
\end{align*}

先生,出番です!

ヒロ
ヒロ

はいはい,どうした?

これ解けるんですけど,解答に外積を使ってるのを残すのは微妙ですよね・・・どう書けば良いですか?

ヒロ
ヒロ

なるほど。やってることは合ってるから,外積を表に出さずに,しかも減点されないような書き方を教えてくれということだね。

そうです。

ヒロ
ヒロ

とりあえず外積で $\Vec{AB}$ と $\Vec{AC}$ の両方に垂直なベクトルを出してから,こう書けば良いよ。

$\vec{n}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(-1,-1,2)$ とすると,$\abs{\vec{n}}=1$ であり,
\begin{align*}
&\Vec{AB}\Cdota\vec{n}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(-3+3+0)=0 \\[4pt]&\Vec{AC}\Cdota\vec{n}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(-3-3+6)=0
\end{align*}
であるから,$\vec{n}$ は平面ABCに垂直な単位法線ベクトルである。
$\Vec{AD}=(0,1,1)$ であるから
\begin{align*}
\mathrm{DH}&=\abs{\vec{n}\Cdota\Vec{AD}} \\[4pt]&=\abs{\dfrac{0-1+2}{\sqrt{6}}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}
\end{align*}

なるほど!とりあえず設定してから内積が0になることを書いて,ちゃんと両方に垂直だと示せば良いんですね!

じゃあ,最後の(3)を解きます。

\begin{align*}
\Vec{AB}=(3,-3,0),~\Vec{AC}=(3,3,3)
\end{align*}
より
\begin{align*}
\abs{\Vec{AB}}=3\sqrt{2},~\abs{\Vec{AC}}=3\sqrt{3}
\end{align*}
であり,$\angle\mathrm{BAC}=90\Deg$ であるから,
\begin{align*}
\triangle\mathrm{ABC}=\dfrac{1}{2}\Cdota3\sqrt{2}\Cdota3\sqrt{3}=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}
\end{align*}
求める四面体ABCDの体積 $V$ は
\begin{align*}
V&=\dfrac{1}{3}\Cdota\triangle\mathrm{ABC}\Cdota\mathrm{DH} \\[4pt]&=\dfrac{1}{3}\Cdota\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\Cdota\dfrac{1}{\sqrt{6}} \\[4pt]&=\dfrac{3}{2}
\end{align*}

出来ました!

ヒロ
ヒロ

完璧だね。この調子でどんどん解ける問題を増やしていこう!

まとめ

ヒロ
ヒロ

4点の座標が与えられて,四面体の体積を求める問題が出題された場合は,外積を利用して楽に速く求められるようにしよう!

ヒロ
ヒロ

また,外積を利用しても,そのことを解答用紙には残さず減点されない答案を書けるようにするとカンペキだ。

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