【数学ⅡB】因数定理【中央大・中京大】

【考え方と解答】
　因数定理を利用するなら，定数項 $12a-42$ の約数を代入して $P(x)=0$ となる $x$ を見つけようとするだろう。今回の場合は，この問題の前に「因数定理」の説明をしているから，余計にそうなるかもしれない。
　しかし，因数分解の基本通りに考えよう。因数分解の基本は「複数の文字がある場合は，次数が最も低い文字で整理する」ことである。この問題では，$a$ について整理して考えるのが基本である。
$a$ については1次式であるから，$a$ の係数と定数項 $2x^3+x^2-7x-42$ において共通因数があるはずである。$a$ の係数を因数分解することで，定数項の因数分解を楽にしよう。
となるから，定数項は $x-3$ または $x+2$ を因数にもつことが分かる。これを踏まえて，定数項を実際に因数分解してみよう。定数項に $x=3$ を代入すると
となるから，$x-3$ を因数にもつことが分かる。$x=3$ を先に代入したのは偶然そうなっただけである。定数項を因数分解すると
となるから，$P(x)$ は次のように因数分解することができる。