漸化式パターン10：2つの数列の連立漸化式の解法

Contents

練習問題

ヒロ

次の問題を解いてみよう。

2014年宮崎大・医2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が，$a_1=1,~b_1=1$ および

\begin{align*}
\begin{cases}
a_{n+1}=2a_n+6b_n \\[4pt]
b_{n+1}=2a_n+3b_n
\end{cases}~(n=1,2,3\cdots)
\end{align*}

で定められているとき，次の各問に答えよ。
(1) $a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$$~(n=1,2,3,\cdots)$ を満たす定数 $\alpha,~\beta$ の組を2組求めよ。
(2) $a_n$ を $n$ を用いて表せ。
(3) ここでは省略

ヒロ

一見，等比型への誘導かと錯覚させるが，実は三項間漸化式のその先まで変形する誘導になってるね。先に答えだけを求めておくと次のようになる。

$\begin{pmatrix}
2 & 6 \\
2 & 3
\end{pmatrix}$ の固有方程式 $x^2-5x-6=0$ を解くと

\begin{align*}
&(x-6)(x+1)=0 \\[4pt]
&x=6,-1
\end{align*}

よって，$(\alpha,\beta)=(6,-1),(-1,6)$

ヒロ

では，頑張って計算していこう。

【(1)の解答】
与えられた漸化式より，

\begin{align*}
a_{n+2}&=2a_{n+1}+6b_{n+1} \\[4pt]
&=2a_{n+1}+6(2a_n+3b_n) \\[4pt]
&=2a_{n+1}+12a_n+3(a_{n+1}-2a_n) \\[4pt]
&=5a_{n+1}+6a_n
\end{align*}

ここで $a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$ より

\begin{align*}
a_{n+2}=(\alpha+\beta)a_{n+1}-\alpha\beta a_n
\end{align*}

となるから，係数比較して，

\begin{align*}
\alpha+\beta=5~~かつ~~\alpha\beta=-6
\end{align*}

したがって，$\alpha,~\beta$ は

\begin{align*}
x^2-5x-6=0
\end{align*}

の2解であり，これを解くと

\begin{align*}
&(x-6)(x+1)=0 \\[4pt]
&x=6,-1
\end{align*}

よって，$(\alpha,\beta)=(6,-1),(-1,6)$

ヒロ

これで等比型になったから，一般項を求められるね。その後，$a_n$ と $b_n$ を未知数と見た連立方程式を解いて $a_n$ を求めよう。

【(2)の解答】
(1)の結果より

\begin{align*}
\begin{cases}
a_{n+2}-6a_{n+1}=-(a_{n+1}-6a_n) &~\cdots\cdots① \\[4pt]
a_{n+2}+a_{n+1}=6(a_{n+1}+a_n) &~\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}

ここで $a_1=1,~b_1=1$ より

\begin{align*}
a_2=2a_1+6b_1=8
\end{align*}

①より，数列 $\{a_{n+1}-6a_n\}$ は公比 $-1$ の等比数列であるから

\begin{align*}
&a_{n+1}-6a_n=(a_2-6a_1)\Cdota(-1)^{n-1} \\[4pt]
&a_{n+1}-6a_n=2\Cdota(-1)^{n-1}~\cdots\cdots③
\end{align*}

②より，数列 $\{a_{n+1}+a_n\}$ は公比6の等比数列であるから

\begin{align*}
&a_{n+1}+a_n=(a_2+a_1)\Cdota6^{n-1} \\[4pt]
&a_{n+1}+a_n=9\Cdota6^{n-1}~\cdots\cdots④
\end{align*}

$\dfrac{④-③}{7}$ より

\begin{align*}
a_n=\dfrac{9\Cdot6^{n-1}-2\Cdot(-1)^{n-1}}{7}
\end{align*}