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漸化式パターン10:2つの数列の連立漸化式の解法

漸化式パターン10数学IAIIB
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漸化式パターン10は2つの数列の連立漸化式であり,誘導がつく問題が多いです。主に等比型になるように誘導されます。2本の等比型の漸化式があれば簡単に解けますが,1本しか誘導してくれないときもあります。もう1本の等比型の漸化式が欲しい場合は自分で導くことになります。そんなときに仕組みを知っていれば,欲しいもう1本の漸化式を簡単に導くことができます。

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隣接三項間漸化式へ変形

2019年 気象大学校数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ を
\begin{align*}
\begin{cases}
a_1=2 \\[4pt]b_1=1~,
\end{cases}~
\begin{cases}
a_{n+1}=4a_n-b_n \\[4pt]b_{n+1}=a_n+2b_n
\end{cases}~(n=1,2,3,\cdots)
\end{align*}
により定義する。以下の設問に答えよ。
(1) $a_2,~b_2,~a_3,~b_3$ を求めよ。
(2) $a_n,~a_{n+1},~a_{n+2}$ の間に成り立つ関係式を求めよ。
(3) $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(4) $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。
ヒロ
ヒロ

(1)は漸化式に $n=1,2$ を代入して求めるだけ。

【(1)の解答】
$a_{n+1}=4a_n-b_n~\cdots\cdots①$
$b_{n+1}=a_n+2b_n~\cdots\cdots②$
とする。①,②に $n=1,~2$ を代入して
\begin{align*}
&a_2=4a_1-b_1=8-1=7 \\[4pt]&b_2=a_1+2b_1=2+2=4 \\[4pt]&a_3=4a_2-b_2=28-4=24 \\[4pt]&b_3=a_2+2b_2=7+8=15
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(2)で誘導しているように,与えられた漸化式を利用して三項間漸化式を導こう。

【(2)の解答】
①,②より
\begin{align*}
a_{n+2}&=4a_{n+1}-b_{n+1} \\[4pt]&=4a_{n+1}-(a_n+2b_n) \\[4pt]&=4a_{n+1}-a_n-2b_n
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

ここでもう一度①を利用することで $b_n$ を消そう。

【(2)の解答の続き】
①より,$b_n=-a_{n+1}+4a_n$ であるから
\begin{align*}
&a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n-2(-a_{n+1}+4a_n) \\[4pt]&a_{n+2}=6a_{n+1}-9a_n
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

これでパターン6になった。特性方程式を利用して,一般項を求めよう。

特性方程式 $x^2=6x-9$ を解くと
\begin{align*}
&x^2-6x+9=0 \\[4pt]&(x-3)^2=0 \\[4pt]&x=3
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

重解をもつタイプなので1本で頑張ろう。

【(3)の解答】
(2)の結果より
\begin{align*}
a_{n+2}-3a_{n+1}=3(a_{n+1}-3a_n)
\end{align*}
数列 $\{a_{n+1}-3a_n\}$ は公比3の等比数列となるから
\begin{align*}
&a_{n+1}-3a_n=(a_2-3a_1)\Cdota3^{n-1} \\[4pt]&a_{n+1}-3a_n=3^{n-1}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

これでパターン3になった。

【(3)の解答の続き】
両辺を $3^{n+1}$ で割ると
\begin{align*}
&\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}-\dfrac{a_n}{3^n}=\dfrac{1}{9}
\end{align*}
数列 $\left\{\dfrac{a_n}{3^n}\right\}$ は公差 $\dfrac{1}{9}$ の等差数列であるから
\begin{align*}
&\dfrac{a_n}{3^n}=\dfrac{a_1}{3}+\dfrac{1}{9}(n-1) \\[4pt]&\dfrac{a_n}{3^n}=\dfrac{n+5}{9} \\[4pt]&a_n=(n+5)\Cdota3^{n-2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(4)の $b_n$ は(2),(3)と同じようにすれば求められるが,相当面倒だ。そんなことは実際にやらなくて良いし,$b_n$ を $a_n$ と $a_{n+1}$ で既に表したよね?その式を利用すれば,$b_n$ をすぐに求められる。

【(4)の解答】
$b_n=-a_{n+1}+4a_n$ より
\begin{align*}
b_n&=-(n+6)\Cdota3^{n-1}+4(n+5)\Cdota3^{n-2} \\[4pt]&=\{-3(n+6)+4(n+5)\}\Cdota3^{n-2} \\[4pt]&=(n+2)\Cdota3^{n-2}
\end{align*}

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