漸化式パターン10：2つの数列の連立漸化式の解法

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練習問題2

ヒロ

もう1問やってみよう。

2019年島根大2つの数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ を次のように定める。

\begin{align*}
&a_1=2,~b_1=2, \\[4pt]
&a_{n+1}=a_n+\dfrac{b_n}{4}~,~~b_{n+1}=a_n+b_n~(n=1,2,3,\cdots)
\end{align*}

このとき，次の問いに答えよ。
(1) $a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_n+\alpha b_n)$ をみたす実数 $\alpha,\beta$ の2つの組 $(\alpha_1,\beta_1)$ と $(\alpha_2,\beta_2)$ を求めよ。ただし，$\alpha_1<\alpha_2$ とする。
(2) (1)で求めた $\alpha_1$ に対して，数列 $\{a_n+\alpha_1b_n\}$ の一般項を求めよ。
(3) 数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ の一般項をそれぞれ求めよ。
(4) ここでは省略

ヒロ

(1)は等比型への変形。特性方程式を解いて答えを先に求めておこう。

特性方程式 $x=\dfrac{x+\dfrac{1}{4}}{x+1}$ を解いて

\begin{align*}
&x(x+1)=x+\dfrac{1}{4} \\[4pt]
&x^2=\dfrac{1}{4} \\[4pt]
&x=\pm\dfrac{1}{2}
\end{align*}

【(1)の解答】
与えられている漸化式より

\begin{align*}
a_{n+1}+\alpha b_{n+1}&=a_n+\dfrac{b_n}{4}+\alpha(a_n+b_n) \\[4pt]
&=(\alpha+1)a_n+\left(\alpha+\dfrac{1}{4}\right)b_n
\end{align*}

右辺が $\beta(a_n+\alpha b_n)$ になるときを考えて

\begin{align*}
\alpha+1=\beta~~かつ~~\alpha+\dfrac{1}{4}=\alpha\beta
\end{align*}

この2式より，$\beta$ を消去すると

\begin{align*}
&\alpha+\dfrac{1}{4}=\alpha(\alpha+1) \\[4pt]
&\alpha^2=\dfrac{1}{4} \\[4pt]
&\alpha=\pm\dfrac{1}{2}
\end{align*}

$\alpha_1<\alpha_2$ より，$\alpha_1=-\dfrac{1}{2},~$$\alpha_2=\dfrac{1}{2}$
よって，$\beta_1=\dfrac{1}{2},~\beta_2=\dfrac{3}{2}$
したがって，

\begin{align*}
(\alpha_1,\beta_1)=\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right),~(\alpha_2,\beta_2)=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right)
\end{align*}

ヒロ

等比型になったから(2)は簡単だろう。

【(2)の解答】
(1)の結果より

\begin{align*}
a_{n+1}-\dfrac{1}{2}b_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n-\dfrac{1}{2}b_n\right)
\end{align*}

数列 $\left\{a_n-\dfrac{1}{2}b_n\right\}$ は公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列であるから

\begin{align*}
&a_n-\dfrac{1}{2}b_n=\left(a_1-\dfrac{1}{2}b_1\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \\[4pt]
&a_n-\dfrac{1}{2}b_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}~\cdots\cdots①
\end{align*}

ヒロ

(2)と同様にして数列 $\{a_n+\alpha_2b_n\}$ の一般項を求めて連立方程式を解こう。

【(3)の解答】
(2)と同様にして，(1)の結果より

\begin{align*}
a_{n+1}+\dfrac{1}{2}b_{n+1}=\dfrac{3}{2}\left(a_n+\dfrac{1}{2}b_n\right)
\end{align*}

数列 $\left\{a_n+\dfrac{1}{2}b_n\right\}$ は公比 $\dfrac{3}{2}$ の等比数列であるから

\begin{align*}
&a_n+\dfrac{1}{2}b_n=\left(a_1+\dfrac{1}{2}b_1\right)\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1} \\[4pt]
&a_n+\dfrac{1}{2}b_n=3\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}~\cdots\cdots②
\end{align*}

$\dfrac{①+②}{2}$より

\begin{align*}
&a_n=\dfrac{1}{2}\left\{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}+3\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\right\} \\[4pt]
&a_n=\dfrac{3^n+1}{2^{n}}
\end{align*}

$②-①$より

\begin{align*}
&b_n=3\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \\[4pt]
&b_n=\dfrac{3^n-1}{2^{n-1}}
\end{align*}