Contents
- ページ1
- 1 隣接三項間漸化式へ変形
- ページ2
- 1 等比型へ変形
- ページ3
- 1 連立漸化式パターン10の解法
- ページ4
- 1 最初の問題（2019年 気象大学校）の別解
- 2 参考
- ページ5
- 1 練習問題
- ページ6
- 1 練習問題2
- 2 まとめ
連立漸化式パターン10の解法
ヒロ
漸化式パターン10の一般形の解法を考えよう。
次の漸化式を考える。
\begin{align*}
\begin{cases}
a_{n+1}=pa_n+qb_n \\[4pt]
b_{n+1}=ra_n+sb_n
\end{cases}
\end{align*}
\begin{cases}
a_{n+1}=pa_n+qb_n \\[4pt]
b_{n+1}=ra_n+sb_n
\end{cases}
\end{align*}
ヒロ
数列 $\{a_n\}$ の三項間漸化式へ変形する場合は次のようになる。
\begin{align*}
a_{n+2}&=pa_{n+1}+qb_{n+1} \\[4pt]
&=pa_{n+1}+q(ra_n+sb_n) \\[4pt]
&=pa_{n+1}+qra_n+s(a_{n+1}-pa_n) \\[4pt]
&=(p+s)a_{n+1}-(ps-qr)a_n
\end{align*}
a_{n+2}&=pa_{n+1}+qb_{n+1} \\[4pt]
&=pa_{n+1}+q(ra_n+sb_n) \\[4pt]
&=pa_{n+1}+qra_n+s(a_{n+1}-pa_n) \\[4pt]
&=(p+s)a_{n+1}-(ps-qr)a_n
\end{align*}
ヒロ
これで1つの解法を手順化することができる。
連立漸化式の解法I
- 与えられた漸化式から，$\{a_n\}$ の隣接三項間漸化式を導く。
- パターン6（隣接三項間漸化式）の解法を思い出して，$a_n$ を求める。
- $b_n=\dfrac{a_{n+1}-pa_n}{q}$ から $b_n$ を求める。
ヒロ
次に等比型に変形する場合を考えよう。
数列 $\{a_n-\alpha b_n\}$ が公比 $\beta$ の等比数列になるような $\alpha,\beta$ の組を考える。
\begin{align*}
a_{n+1}-\alpha b_{n+1}&=(pa_n+qb_n)-\alpha(ra_n+sb_n) \\[4pt]
&=(p-r\alpha)a_n+(q-s\alpha)b_n
\end{align*}
$a_{n+1}-\alpha b_{n+1}=\beta(a_n-\alpha b_n)$ となるときを考えてa_{n+1}-\alpha b_{n+1}&=(pa_n+qb_n)-\alpha(ra_n+sb_n) \\[4pt]
&=(p-r\alpha)a_n+(q-s\alpha)b_n
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
p-r\alpha=\beta \\[4pt]
q-s\alpha=-\alpha\beta
\end{cases}
\end{align*}
2式から $\beta$ を消去すると\begin{cases}
p-r\alpha=\beta \\[4pt]
q-s\alpha=-\alpha\beta
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
&q-s\alpha=-\alpha(p-r\alpha) \\[4pt]
&r\alpha^2-(p-s)\alpha-q=0~\cdots\cdots(*)
\end{align*}
&q-s\alpha=-\alpha(p-r\alpha) \\[4pt]
&r\alpha^2-(p-s)\alpha-q=0~\cdots\cdots(*)
\end{align*}
ヒロ
この方程式を解くことで $\alpha$ を求めることができる。そこで，元の漸化式から，この方程式を立てることを考えよう。
ヒロ
連立漸化式を縦に並べて，分数のように見よう。さらに $a_{n+1},~a_n$ を $x$ に，$b_{n+1},~b_n$ を1にすると次のようになる。
\begin{align*}
\dfrac{x}{1}=\dfrac{px+q}{rx+s}
\end{align*}
これを変形すると\dfrac{x}{1}=\dfrac{px+q}{rx+s}
\end{align*}
\begin{align*}
&x(rx+s)=px+q \\[4pt]
&rx^2-(p-s)x-q=0
\end{align*}
&x(rx+s)=px+q \\[4pt]
&rx^2-(p-s)x-q=0
\end{align*}
ヒロ
これで漸化式からすぐに方程式(＊)を立てることができる。
特性方程式
連立漸化式
\begin{align*}
\begin{cases}
a_{n+1}=pa_n+qb_n \\[4pt]
b_{n+1}=ra_n+sb_n
\end{cases}
\end{align*}
において，方程式\begin{cases}
a_{n+1}=pa_n+qb_n \\[4pt]
b_{n+1}=ra_n+sb_n
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
x=\dfrac{px+q}{rx+s}
\end{align*}
を特性方程式といい，特性方程式の解を $\alpha$ とすると，数列 $\{a_n-\alpha b_n\}$ は公比 $p-\alpha r$ の等比数列となる。
x=\dfrac{px+q}{rx+s}
\end{align*}
ヒロ
漸化式パターン10のもう1つの解法を手順化すると次のようになる。
連立漸化式の解法II $(\alpha\neq\beta のとき)$
- 特性方程式を解いて $x=\alpha,~\beta$ を得る。
- 数列 $\{a_n-\alpha b_n\},~\{a_n-\beta b_n\}$ が等比数列になるから一般項を求める。
- 上で求めた2本の一般項の式を連立して，$a_n,~b_n$ を求める。
連立漸化式の解法II $(\alpha=\beta のとき)$
- 特性方程式を解いて $x=\alpha$ を得る。
- $a_n-\alpha b_n=c_n$ とおくと，数列 $\{c_n\}$ が等比数列になるから一般項 $c_n$ を求める。
- $a_n=\alpha b_n+c_n$ を $b_{n+1}=ra_n+sb_n$ に代入して $b_{n+1}=(r\alpha+s)b_n+rc_n$ を得る。
※$b_n$ を消去しても構わない。 - パターン3になるから，解法を思い出して，$b_n$ を求める。
- $a_n=\alpha b_n+c_n$ より $a_n$ を求める。