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漸化式パターン10:2つの数列の連立漸化式の解法

漸化式パターン10数学IAIIB

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等比型へ変形

2011年 津田塾大$p_1=4,~q_1=-1$ であり,自然数 $n$ に対して
\begin{align*}
\begin{cases}
p_{n+1}=-p_n-6q_n \\[4pt]q_{n+1}=p_n+4q_n
\end{cases}
\end{align*}
で定められた数列 $\{a_n\},~\{q_n\}$ を考える。
(1) すべての自然数 $n$ に対して等式 $p_{n+1}+aq_{n+1}=b(p_n+aq_n)$ が成り立つような実数 $a,~b$ の組を求めよ。
(2) 一般項 $p_n,~q_n$ を求めよ。
ヒロ
ヒロ

誘導通り,$p_{n+1}+aq_{n+1}$ を計算していこう。

【(1)の解答】
与えられた漸化式より
\begin{align*}
p_{n+1}+aq_{n+1}&=(-p_n-6q_n)+a(p_n+4q_n) \\[4pt]&=(a-1)p_n+(4a-6)q_n
\end{align*}
となるから,
\begin{align*}
p_{n+1}+aq_{n+1}=b(p_n+aq_n)~\cdots\cdots①
\end{align*}
が成り立つとき
\begin{align*}
(a-b-1)p_n+(4a-6-ab)q_n=0~\cdots\cdots②
\end{align*}
が成り立つ。
ヒロ
ヒロ

この問題文のように,すべての自然数 $n$ に対して①が成り立つような実数 $a,~b$ の組を求める場合は,注意が必要だ。単純に $p_n,~q_n$ の係数が0であればよいとは言えないからね。

ヒロ
ヒロ

$a$ と $b$ の2文字を求めるためには,式が2本必要だから,まずは $n=1,2$ のときに成り立つ条件を考えて $a,~b$ の組を求めよう。その後,求めた $a,~b$ の組の中で,すべての自然数 $n$ に対して①が成り立つような $a,~b$ の組を求めよう。

【解答の続き】
すべての自然数 $n$ に対して $p_{n+1}+aq_{n+1}=b(p_n+aq_n)$ が成り立つためには,$n=1,2$ のとき成り立つことが必要である。すなわち,
\begin{align*}
\begin{cases}
(a-b-1)p_1+(4a-6-ab)q_1=0 \\[4pt](a-b-1)p_2+(4a-6-ab)q_2=0
\end{cases}
\end{align*}
$p_1=4,~q_1=-1$ より,
\begin{align*}
&p_2=-p_1-6q_1=-4+6=2 \\[4pt]&q_2=p_1+4q_1=4-4=0
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
&\begin{cases}
4(a-b-1)-(4a-6-ab)=0 \\[4pt]2(a-b-1)=0
\end{cases} \\[4pt]&\begin{cases}
4a-6-ab=0 \\[4pt]a-b-1=0
\end{cases}~\cdots\cdots③
\end{align*}
2式から $b$ を消去すると
\begin{align*}
&4a-6=a(a-1) \\[4pt]&a^2-5a+6=0 \\[4pt]&(a-2)(a-3)=0 \\[4pt]&a=2,~3
\end{align*}
$a=2$ のとき $b=1$
$a=3$ のとき $b=2$
ここで③が成り立つとき,すべての自然数 $n$ に対して②が成り立つ,すなわち①が成り立つ。
したがって,求める実数 $a,~b$ の組は
\begin{align*}
(a,b)=(2,1),(3,2)
\end{align*}
(2)の一般項を求めるための準備として $a,b$ の組を求めるのなら,十分条件として③としてしまえばよい。
ヒロ
ヒロ

これで等比型へ変形できた。それぞれを解いていこう。

【(2)の解答】
(1)の結果より,
\begin{align*}
\begin{cases}
p_{n+1}+2q_{n+1}=p_n+2q_n \\[4pt]p_{n+1}+3q_{n+1}=2(p_n+3q_n)
\end{cases}
\end{align*}
数列 $\{p_n+2q_n\}$ は定数列であるから
\begin{align*}
p_n+2q_n=p_1+2q_1=2~\cdots\cdots④
\end{align*}
数列 $\{p_n+3q_n\}$ は公比2の等比数列であるから
\begin{align*}
p_n+3q_n=(p_1+3q_1)\Cdota2^{n-1}=2^{n-1}~\cdots\cdots⑤
\end{align*}
④,⑤より
\begin{align*}
p_n=-2^n+6,~q_n=2^{n-1}-2
\end{align*}

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