【数学IA】三角比を含む方程式と不等式

ここでは三角比を含む方程式と不等式について説明します。

基本問題については次の記事で説明しています。

Contents

1 三角比を含む方程式の問題
2 三角比を含む方程式・不等式の問題

三角比を含む方程式の問題

問題$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ とする。次の方程式を解け。
(1) $\sin\theta\tan\theta=-\dfrac{3}{2}$
(2) $\sqrt{2}\sin\theta=\tan\theta$

【(1)の考え方と解答】
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を利用して，方程式を $\sin\theta$ と $\cos\theta$ で表そう。

\begin{align*}
&\sin\theta\Cdota\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=-\dfrac{3}{2} \\[4pt]
&\sin^2\theta=-\dfrac{3}{2}\cos\theta
\end{align*}

次は $\cos\theta$ に統一しよう。

\begin{align*}
&1-\cos^2\theta=-\dfrac{3}{2}\cos\theta \\[4pt]
&2\cos^2\theta-3\cos\theta-2=0 \\[4pt]
&(\cos\theta-2)(2\cos\theta+1)=0
\end{align*}

$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ のとき $-1\leqq\cos\theta\leqq1$ であるから

\begin{align*}
&\cos\theta=-\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&\theta=120\Deg
\end{align*}

(2) $\sqrt{2}\sin\theta=\tan\theta$

【(2)の考え方と解答】
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より

\begin{align*}
&\sqrt{2}\sin\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \\[4pt]
&\sqrt{2}\sin\theta\cos\theta=\sin\theta \\[4pt]
&\sin\theta(\sqrt{2}\cos\theta-1)=0 \\[4pt]
&\sin\theta=0,~\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{align*}

$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ より，$\theta=0\Deg,~45\Deg,~180\Deg$

三角比を含む方程式・不等式の問題

問題$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ のとき，次の方程式・不等式を解け。
(1) $2\cos^2\theta+5\sin\theta=4$
(2) $2\sin^2\theta+3\cos\theta<0$
(3) $\tan^2\theta+(1-\sqrt{3})\tan\theta-\sqrt{3}\leqq0$

【(1)の考え方と解答】 $\sin\theta$ と $\cos\theta$ が混在している方程式・不等式では，どちらか一方に統一できるかどうかを考えよう。$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を利用することで，$\sin^2\theta$ と $\cos^2\theta$ のどちらかをもう一方で表すことができる。今回の場合は $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ を利用して $\sin\theta$ に統一しよう。

\begin{align*} &2(1-\sin^2\theta)+5\sin\theta=4 \\[4pt] &2\sin^2\theta-5\sin\theta+2=0 \end{align*}

$\sin\theta=t$ とおくと $t$ の2次方程式になるから $t$，すなわち $\sin\theta$ の値を求めることができる。その後，$\theta$ の値の範囲に注意して $\theta$ を求めよう。 $\sin\theta=t$ と置き換えずに書き進めることが苦でない人は $\sin\theta$ のまま書き進めよう。ここでは文字を置き換えて進めることにする。 $\sin\theta=t$ とおくと，$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ のとき $-1\leqq t\leqq1$ である。 ※文字を置き換えた後は，定義域を考えるようにしよう。

\begin{align*} &2t^2-5t+2=0 \\[4pt] &(t-2)(2t-1)=0 \\[4pt] &t=2,~\dfrac{1}{2} \end{align*}

$-1\leqq t\leqq1$ より，$t=\dfrac{1}{2}$
よって，$\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ $0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ であるから

\begin{align*} \theta=30\Deg,~150\Deg \end{align*}