Contents
- ページ1
- 1 隣接三項間漸化式へ変形
- ページ2
- 1 等比型へ変形
- ページ3
- 1 連立漸化式パターン10の解法
- ページ4
- 1 最初の問題（2019年 気象大学校）の別解
- 2 参考
- ページ5
- 1 練習問題
- ページ6
- 1 練習問題2
- 2 まとめ
最初の問題（2019年 気象大学校）の別解
ヒロ
最初の問題を特性方程式を利用した場合の解法を紹介しておこう。
\begin{align*}
\begin{cases}
a_1=2 \\[4pt]
b_1=1~,
\end{cases}~
\begin{cases}
a_{n+1}=4a_n-b_n \\[4pt]
b_{n+1}=a_n+2b_n
\end{cases}~(n=1,2,3,\cdots)
\end{align*}
特性方程式 $x=\dfrac{4x-1}{x+2}$ を解くと
\begin{align*}
&x(x+2)=4x-1 \\[4pt]
&x^2-2x+1=0 \\[4pt]
&(x-1)^2=0 \\[4pt]
&x=1
\end{align*}
&x(x+2)=4x-1 \\[4pt]
&x^2-2x+1=0 \\[4pt]
&(x-1)^2=0 \\[4pt]
&x=1
\end{align*}
ヒロ
これで数列 $\{a_n-b_n\}$ が等比数列になることが分かった。
【別解】
$a_{n+1}=4a_n-b_n~\cdots\cdots①$
$b_{n+1}=a_n+2b_n~\cdots\cdots②$
とする。$①-②$より
$a_{n+1}=4a_n-b_n~\cdots\cdots①$
$b_{n+1}=a_n+2b_n~\cdots\cdots②$
とする。$①-②$より
\begin{align*}
a_{n+1}-b_{n+1}=3(a_n-b_n)
\end{align*}
となるから，数列 $\{a_n-b_n\}$ は公比3の等比数列である。$a_1=2,~b_1=1$ よりa_{n+1}-b_{n+1}=3(a_n-b_n)
\end{align*}
\begin{align*}
&a_n-b_n=3^{n-1} \\[4pt]
&a_n=b_n+3^{n-1}
\end{align*}
②に代入して&a_n-b_n=3^{n-1} \\[4pt]
&a_n=b_n+3^{n-1}
\end{align*}
\begin{align*}
&b_{n+1}=3b_n+3^{n-1} \\[4pt]
&\dfrac{b_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{b_n}{3^n}+\dfrac{1}{9}
\end{align*}
数列 $\left\{\dfrac{b_n}{3^n}\right\}$ は初項 $\dfrac{b_1}{3}=\dfrac{1}{3}$ で公差 $\dfrac{1}{9}$ の等差数列であるから&b_{n+1}=3b_n+3^{n-1} \\[4pt]
&\dfrac{b_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{b_n}{3^n}+\dfrac{1}{9}
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{b_n}{3^n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}(n-1) \\[4pt]
&b_n=(n+2)\Cdota3^{n-2}
\end{align*}
$a_n=b_n+3^{n-1}$ より&\dfrac{b_n}{3^n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}(n-1) \\[4pt]
&b_n=(n+2)\Cdota3^{n-2}
\end{align*}
\begin{align*}
&a_n=(n+2)\Cdota3^{n-2}+3^{n-1} \\[4pt]
&a_n=(n+5)\Cdota3^{n-2}
\end{align*}
&a_n=(n+2)\Cdota3^{n-2}+3^{n-1} \\[4pt]
&a_n=(n+5)\Cdota3^{n-2}
\end{align*}
参考
ヒロ
連立漸化式を三項間漸化式へ変形したけど，その続きの変形後の形まですぐに分かる方法を紹介しておこう。
最初の方で説明したように，連立漸化式
\begin{align*}
\begin{cases}
a_{n+1}=pa_n+qb_n \\[4pt]
b_{n+1}=ra_n+sb_n
\end{cases}
\end{align*}
から数列 $\{a_n\}$ の三項間漸化式\begin{cases}
a_{n+1}=pa_n+qb_n \\[4pt]
b_{n+1}=ra_n+sb_n
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
a_{n+2}=(p+s)a_{n+1}-(ps-qr)a_n
\end{align*}
へ変形できる。特性方程式a_{n+2}=(p+s)a_{n+1}-(ps-qr)a_n
\end{align*}
\begin{align*}
x^2-(p+s)x+ps-qr=0
\end{align*}
の2解を $\alpha,~\beta$ とするとx^2-(p+s)x+ps-qr=0
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) \\[4pt]
a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)
\end{cases}
\end{align*}
と変形できる。\begin{cases}
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) \\[4pt]
a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)
\end{cases}
\end{align*}
ヒロ
ここで，特性方程式に注目すると，行列 $\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix}$ の固有方程式だということが分かるだろう。
固有方程式
p & q \\
r & s
\end{pmatrix}$ のとき
行列 $A=\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix}$, 単位行列 $E=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$ に対して
\begin{align*}
\det(A-kE)=0
\end{align*}
を固有方程式という。$\det A$ を $A$ の行列式といい，$A=\begin{pmatrix}\det(A-kE)=0
\end{align*}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix}$ のとき
\begin{align*}
\det A=ps-qr
\end{align*}
である。
\det A=ps-qr
\end{align*}
ヒロ
行列を学習しない現行課程では，この説明は一部の人にしか役に立たないかもしれない。