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【面積公式】3分の1公式【1999年 センター数学ⅡB 微積】

面積を求める3分の1公式数学IAIIB
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数学Ⅱで学習する面積を求める3分の1公式(1/3公式)の説明をします。3分の1公式は,センター試験の数学で面積を求める裏技公式として有名な公式の1つです。

放物線とその接線と $y$ 軸に平行な直線で囲まれる図形の面積を求めるときに,3分の1公式を使うことで,定積分の式を書かず,積分計算もせずに,速く楽に面積を求めることができます。

3分の1公式も6分の1公式と同様に十分使える形で,様々な大学入試で出題されています。公式が何故成り立つかを知ることは重要です。しかし,公式を単なる道具として使えることも重要です。特にセンター試験のような短時間で正確に答えを求めればよい試験に対しては,3分の1公式を使って時間を短縮しましょう。

3分の1公式の証明を知ることで,3分の1公式が成り立つことが当たり前だと感じることができるでしょう。

1999年のセンター試験数学ⅡBの問題を扱って説明します。

1999年 センター試験 数学ⅡB放物線 $y=-x^2+2x$ を $C$ とし,原点Oにおける $C$ の接線を $\ell$ とする。
直線 $x=\dfrac{a}{2},~\ell$ および $C$ で囲まれた図形の面積 $S$ は $S=\dfrac{a^{\,\myBox{ア}}}{\myBox{イウ}}$である。ただし,$a$ は $0<a<2$ を満たす定数とする。
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定積分で面積を求める(通常解法)

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まずは図を描いて,どの図形の面積を求めるのか把握しよう。

$y=-x^2+2x$ より
\begin{align*}
y’=-2x+2
\end{align*}
であるから,原点Oにおける $C$ の接線 $\ell$ の方程式は
\begin{align*}
y=2x
\end{align*}
放物線 $C$ の軸は $x=1$ であり,$0<a<2$ より $0<\dfrac{a}{2}<1$ であるから,直線 $x=\dfrac{a}{2}$ は $y$ 軸と $C$ の軸の間にある。
よって,直線 $x=\dfrac{a}{2},~\ell$ および $C$ で囲まれた図形は下図の斜線部分となる。
1999年 センター数学 2b 微積 3分の1公式
よって求める面積 $S$ は
\begin{align*}
S&=\dint{0}{\frac{a}{2}}\{2x-(-x^2+2x)\}\;dx \\[4pt]
&=\dint{0}{\frac{a}{2}}x^2\;dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac{1}{3}x^3}{0}{\frac{a}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a}{2}\right)^3 \\[4pt]
&=\dfrac{a^3}{24}
\end{align*}

放物線とその接線と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を一般的に求める

ヒロ
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一般的に考えてみよう。

問題$f(x)=ax^2+bx+c~(a>0)$ とし,放物線 $C:y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{A}(t_1,~f(t_1))$ における接線を $\ell$ とする。直線 $x=t_2~(\neq t_1)$,$\ell$ および $C$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。
ヒロ
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まず接線 $\ell$ の方程式を求めよう。

$f(x)=ax^2+bx+c$ より
\begin{align*}
f'(x)=2ax+b
\end{align*}
であるから,接線 $\ell$ の方程式は
\begin{align*}
&y=(2at_1+b)(x-t_1)+a{t_1}^2+bt_1+c \\[4pt]
&y=(2at_1+b)x-a{t_1}^2+c
\end{align*}
ヒロ
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図を描くと次のようになる。

3分の1公式 3分の1公式
ヒロ
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次に面積 $S$ を求めよう。

$t_2>t_1$ のとき
\begin{align*}
S&=\dint{t_1}{t_2}\bigl\{(ax^2+bx+c)-\{(2at_1+b)x-a{t_1}^2+c\}\bigr\}\;dx \\[4pt]
&=\dint{t_1}{t_2}(ax^2-2at_1x+a{t_1}^2)\;dx \\[4pt]
&=\dint{t_1}{t_2}a(x-t_1)^2\;dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac{a}{3}(x-t_1)^3}{t_1}{t_2} \\[4pt]
&=\dfrac{a}{3}(t_2-t_1)^3
\end{align*}
$t_2<t_1$ のときは積分区間が逆になるだけだから
\begin{align*}
S=\dfrac{a}{3}(t_1-t_2)^3
\end{align*}

接する2つの放物線と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を一般的に求める

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さらに放物線どうしが接する場合を考えてみよう。

問題$f(x)=ax^2+bx+c$,$g(x)=px^2+qx+r$ とし,2つの放物線 $C:y=f(x),~D:y=g(x)$ が $x$ 座標が $t_1$ の点で接しているとする。直線 $x=t_2~(\neq t_1),~C,~D$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。ただし,$a>p$ とする。
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$t_1<t_2$ の場合を考える。

面積を求める3分の1公式 面積を求める3分の1公式
2つの放物線 $C,~D$ が $x=t_1$ の点で接しているから,方程式 $f(x)-g(x)=0$ は重解 $x=t_1$ をもつ。したがって,$f(x)-g(x)$ の $x^2$ の係数が $a-p$ になることを考えると
\begin{align*}
f(x)-g(x)=(a-p)(x-t_1)^2
\end{align*}
と変形できるから,面積 $S$ は
\begin{align*}
S&=\dint{t_1}{t_2}\{f(x)-g(x)\}\;dx \\[4pt]
&=\dint{t_1}{t_2}(a-p)(x-t_1)^2\;dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac{a-p}{3}(x-t_1)^3}{t_1}{t_2} \\[4pt]
&=\dfrac{a-p}{3}(t_2-t_1)^3
\end{align*}

面積を求める3分の1公式

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面積を求める3分の1公式を使えるようにしよう。

面積を求める3分の1公式

面積を求める3分の1公式 面積を求める3分の1公式

放物線 $C$ とその接線 $\ell$ および $y$ 軸に平行な直線 $m$ で囲まれた図形の面積 $S_1$ や接する2つの放物線 $C,~D$ と直線 $m$ で囲まれた図形の面積 $S_2$ は,次のように表すことができる。図中の $[a]$, $[b]$ は $x^2$ の係数を表す。

\begin{align*}
S_1=\dfrac{\abs{a}}{3}d^3,~S_2=\dfrac{\abs{a-b}}{3}d^3
\end{align*}

3分の1公式を利用した解法(裏技解法)

放物線 $y=-x^2+2x$ を $C$ とし,原点Oにおける $C$ の接線を $\ell$ とする。
直線 $x=\dfrac{a}{2},~\ell$ および $C$ で囲まれた図形の面積 $S$ は $S=\dfrac{a^{\,\myBox{ア}}}{\myBox{イウ}}$である。ただし,$a$ は $0<a<2$ を満たす定数とする。

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それでは3分の1公式を利用して解いてみよう。

3分の1公式を利用する場合,必要なものは $x^2$ の係数と接点から直線 $x=\dfrac{a}{2}$ までの距離 $d$ の2つ。
1999年 センター数学 2b 微積 3分の1公式
$x^2$ の係数は $-1$ で,原点が接点だから,$d=\dfrac{a}{2}$ となる。よって
\begin{align*}
S=\dfrac{\abs{-1}}{3}\left(\dfrac{a}{2}\right)^3=\dfrac{a^3}{24}
\end{align*}
※接線 $\ell$ の方程式を求める必要はない。
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実際には,接線 $\ell$ の方程式については,$C$ の方程式を見た瞬間に分かるけど,また,別の話なのでここでは省略する。

被積分関数を因数分解したときの形を知って3分の1公式を理解しよう

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ある図形の面積を求めるときは,定積分することによって求める。

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多項式で表された2つの曲線(直線を含む)が接するときは,2つの関数の差が被積分関数となる。これを因数分解すると2乗の因数が現れることを常識にしておこう。

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これによって,3分の1公式も理解できるはず。

放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線 $y=px+q$ が $x$ 座標が $t$ である点で接しているとき
\begin{align*}
(ax^2+bx+c)-(px+q)=a(x-t)^2
\end{align*}
が成り立つ。
また,放物線 $y=ax^2+bx+c$ と放物線 $y=px^2+qx+r$ が $x$ 座標が $t$ である点で接しているとき
\begin{align*}
(ax^2+bx+c)-(px^2+qx+r)=(a-p)(x-t)^2
\end{align*}
が成り立つ。
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一般化すると次のようになる。

2つの曲線 $y=f(x),~y=g(x)$ が点$(t,~g(t))$ で接しているとき,
\begin{align*}
f(x)-g(x)=(x-t)^2Q(x)
\end{align*}
が成り立つ。ただし,$f(x),~g(x),~Q(x)$ は $x$ の多項式とする。
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これをしっかり理解すると,1つの式を見ても,思うこと・感じること・考えることが色々あって楽しくなる。いくつか例を挙げておこう。

$y=2(x-1)^2+3$ を見たときには,頂点の座標が $(1,~3)$ であることは当然分かるとして,直線 $y=3$ と点 $(1,~3)$ で接しているという見方が自然にできる。
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即座に式を見てグラフが想像できることが重要だね。

$y=-2x^2-3x+4$ を見たときには,点 $(0,~4)$ における接線は $y=-3x+4$ であることが分かる。$y=-2(x-0)^2-3x+4$ とすると理解しやすいだろう。
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$y=ax^2+bx+c$ の $b$ って何ですか?と聞く人がいるけど,これからは「点 $(0,~c)$ における接線の傾きだよ」と答えてあげよう。

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定数項も含めて考えると,$y=bx+c$ は $y=ax^2+bx+c$ 上の点 $(0,~c)$ における接線であることを理解しておくのが良い。

$f(x)=(x+1)^2(x-3)+4x-3$ を見たときには,3次関数 $y=f(x)$ と直線 $y=4x-3$ は点 $(-1,~-7)$ で接していて,もう1つの交点は $(3,~9)$ であることが分かる。
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少し言い方を変えると,$y=f(x)$ の点 $(-1,~f(-1))$ における接線の方程式は,$f(x)$ を $(x+1)^2$ で割ることで求めることができる。また,副産物として,もう1つの交点の $x$ 座標まで求められるっていうこと。

まとめ

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面積を求める3分の1公式を適切に使うことによって,圧倒的に楽に速く面積を求めることができる。

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また,2曲線 $y=f(x),~y=g(x)$ が接するときは $f(x)-g(x)$ を因数分解すると2乗のカタマリを因数にもつことを常識にしよう。

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