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漸化式パターン10:2つの数列の連立漸化式の解法

漸化式パターン10数学IAIIB

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最初の問題(2019年 気象大学校)の別解

ヒロ
ヒロ

最初の問題を特性方程式を利用した場合の解法を紹介しておこう。

\begin{align*}
\begin{cases}
a_1=2 \\[4pt]b_1=1~,
\end{cases}~
\begin{cases}
a_{n+1}=4a_n-b_n \\[4pt]b_{n+1}=a_n+2b_n
\end{cases}~(n=1,2,3,\cdots)
\end{align*}

特性方程式 $x=\dfrac{4x-1}{x+2}$ を解くと
\begin{align*}
&x(x+2)=4x-1 \\[4pt]&x^2-2x+1=0 \\[4pt]&(x-1)^2=0 \\[4pt]&x=1
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

これで数列 $\{a_n-b_n\}$ が等比数列になることが分かった。

【別解】
$a_{n+1}=4a_n-b_n~\cdots\cdots①$
$b_{n+1}=a_n+2b_n~\cdots\cdots②$
とする。$①-②$より
\begin{align*}
a_{n+1}-b_{n+1}=3(a_n-b_n)
\end{align*}
となるから,数列 $\{a_n-b_n\}$ は公比3の等比数列である。$a_1=2,~b_1=1$ より
\begin{align*}
&a_n-b_n=3^{n-1} \\[4pt]&a_n=b_n+3^{n-1}
\end{align*}
②に代入して
\begin{align*}
&b_{n+1}=3b_n+3^{n-1} \\[4pt]&\dfrac{b_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{b_n}{3^n}+\dfrac{1}{9}
\end{align*}
数列 $\left\{\dfrac{b_n}{3^n}\right\}$ は初項 $\dfrac{b_1}{3}=\dfrac{1}{3}$ で公差 $\dfrac{1}{9}$ の等差数列であるから
\begin{align*}
&\dfrac{b_n}{3^n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}(n-1) \\[4pt]&b_n=(n+2)\Cdota3^{n-2}
\end{align*}
$a_n=b_n+3^{n-1}$ より
\begin{align*}
&a_n=(n+2)\Cdota3^{n-2}+3^{n-1} \\[4pt]&a_n=(n+5)\Cdota3^{n-2}
\end{align*}

参考

ヒロ
ヒロ

連立漸化式を三項間漸化式へ変形したけど,その続きの変形後の形まですぐに分かる方法を紹介しておこう。

最初の方で説明したように,連立漸化式
\begin{align*}
\begin{cases}
a_{n+1}=pa_n+qb_n \\[4pt]b_{n+1}=ra_n+sb_n
\end{cases}
\end{align*}
から数列 $\{a_n\}$ の三項間漸化式
\begin{align*}
a_{n+2}=(p+s)a_{n+1}-(ps-qr)a_n
\end{align*}
へ変形できる。特性方程式
\begin{align*}
x^2-(p+s)x+ps-qr=0
\end{align*}
の2解を $\alpha,~\beta$ とすると
\begin{align*}
\begin{cases}
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) \\[4pt]a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)
\end{cases}
\end{align*}
と変形できる。
ヒロ
ヒロ

ここで,特性方程式に注目すると,行列 $\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix}$ の固有方程式だということが分かるだろう。

固有方程式

行列 $A=\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix}$, 単位行列 $E=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$ に対して

\begin{align*}
\det(A-kE)=0
\end{align*}
を固有方程式という。$\det A$ を $A$ の行列式といい,$A=\begin{pmatrix}
p & q \\
r & s
\end{pmatrix}$ のとき
\begin{align*}
\det A=ps-qr
\end{align*}
である。

ヒロ
ヒロ

行列を学習しない現行課程では,この説明は一部の人にしか役に立たないかもしれない。

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