【数学IA】条件の否定

ある条件 $p$ に対して「$p$ でない」というのも条件となる。このような条件の否定について理解しておこう。

条件の否定の例をいくつか挙げておこう。

$x$ を整数として「$x$ は偶数である」の否定は「$x$ は偶数でない」となるが，偶数でない整数は奇数であるから「$x$ は奇数である」となる。

否定の言葉を知っているとスムーズに言うことができる。

例えば日常会話に現れる例から考えてみよう。

「乃木坂46のメンバーは全員（すべて）可愛い。」の否定を考えよう。

これを「乃木坂46のメンバーは全員可愛くない。」としてしまったら大変なことになるね。

文全体を否定するわけだから「乃木坂46のメンバーは全員可愛いということはない。」が正しい否定になる。

この文の意味を噛み砕くと「乃木坂46のメンバーの中には可愛くない人もいる。」だ。

機械的に否定にするなら次のことを覚えておこう。

先程の例では「乃木坂46のあるメンバーは可愛くない。」という感じだ。

つまり「すべて」の否定は「少なくとも1つ存在する」となるとも言える。

数学の例で，さいころを3つ振ったときを考えてみよう。

「3つとも6の目が出る」の否定は「少なくとも1つは6でない目が出る」となる。

3つのさいころのうち，1つでも6でない目が出れば否定になっていることが分かるだろう。

また「すべての実数 $x$ に対して $x^2\geqq0$ である。」の否定は「ある実数 $x$ に対して $x^2<0$ である。」となる。

それでは次に「ある」を含む条件の否定を理解しよう。

「乃木坂46のあるメンバーは歌が下手だ。」の否定を考えよう。

この否定を「乃木坂46のあるメンバーは歌が上手い。」なんて言わないように。

元の文を言い換えると「乃木坂46には歌が下手なメンバーが存在する。」となる。

ということは，この文の否定は「乃木坂46には歌が下手なメンバーなんていない」という意味になるのだから，「乃木坂46のすべてのメンバーは歌が上手い。」となる。

これも機械的にするなら次のことを覚えておこう。

数学の例で「ある実数 $x$ に対して $x^2<0$ である。」の否定は「すべての実数 $x$ に対して $x^2\geqq0$ である。」となる。

他には「$x,~y,~z$ のうち0であるものが存在する。」の否定は「$x,~y,~z$ はすべて0でない。」となる。

それでは実際に定期テストに出題された問題を解いてみよう。