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【数学IA】三角比の相互関係

三角比の相互関係数学IAIIB
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ここでは三角比の相互関係について説明します。

三角比の相互関係は直角三角形において成り立つ三平方の定理が元になっています。

三角比の定義と三平方の定理を知っていれば,三角比の相互関係をいつでも導けるようになります。

結果として忘れなくなります。

三角比の相互関係を使いこなせるようにしましょう。

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三角比の相互関係

ヒロ
ヒロ

$\sin\theta,~\cos\theta,~\tan\theta$ にはどのような関係があるのかを知ろう。

【三角比の相互関係】
次のような直角三角形ABCを考える。
$a,~b$ をそれぞれ $c$ と $\theta$ で表すと
\begin{align*}
&a=c\cos\theta \\[4pt]
&b=c\sin\theta
\end{align*}
である。三平方の定理より
\begin{align*}
&a^2+b^2=c^2 \\[4pt]
&(c\cos\theta)^2+(c\sin\theta)^2=c^2 \\[4pt]
&\cos^2\theta+\sin^2\theta=1
\end{align*}
ABの傾きは $\dfrac{b}{a}$ であり,$\tan\theta$ に等しいから
\begin{align*}
&\dfrac{c\sin\theta}{c\cos\theta}=\tan\theta \\[4pt]
&\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta
\end{align*}
$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ の両辺を $\cos^2\theta$ で割ると
\begin{align*}
&1+\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac{1}{\cos^2\theta} \\[4pt]
&1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}
\end{align*}
となる。ここまでで教科書に載っている3つの相互関係を導くことができた。理系で数学Ⅲも使う場合は,4つ目の相互関係も使いこなせるようにしておくのが良いだろう。$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ の両辺を $\sin^2\theta$ で割ると
\begin{align*}
&\dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}+1=\dfrac{1}{\sin^2\theta} \\[4pt]
&\dfrac{1}{\tan^2\theta}+1=\dfrac{1}{\sin^2\theta}
\end{align*}
となる。覚えていない人が多いけど,覚えておいた方が良い。

相互関係を利用して三角比の値を求める問題

問題$90\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ としたとき,次の値を求めよ。
(1) $\sin\theta=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ のとき,$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値
(2) $\tan\theta=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ のとき,$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値
【(1)の考え方と解答】
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の関係式から $\cos\theta$ の値を求める。
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より
\begin{align*}
\cos^2\theta&=1-\sin^2\theta \\[4pt]
&=1-\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{9}{13}
\end{align*}
$90\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ のとき,$\cos\theta\leqq0$ であるから
\begin{align*}
\cos\theta=-\dfrac{3}{\sqrt{13}}
\end{align*}
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値が分かったので $\tan\theta$ の値も求めることができる。
\begin{align*}
\tan\theta&=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\times\left(-\dfrac{\sqrt{13}}{3}\right) \\[4pt]
&=-\dfrac{2}{3}
\end{align*}

(2) $\tan\theta=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ のとき,$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値

【(2)の考え方と解答】
$\tan\theta$ と $\sin\theta$ の関係式から $\sin\theta$ を求める。
$1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}$ より
\begin{align*}
\dfrac{1}{\sin^2\theta}&=1+\left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{9}{5} \\[4pt]
\sin^2\theta&=\dfrac{5}{9}
\end{align*}
$90\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ のとき $\sin\theta\geqq0$ であるから
\begin{align*}
\sin\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{3}
\end{align*}
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より
\begin{align*}
\cos\theta&=\dfrac{\sin\theta}{\tan\theta} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\times\left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) \\[4pt]
&=-\dfrac{2}{3}
\end{align*}

相互関係を利用して三角比の値を求める問題2

ヒロ
ヒロ

それでは次の問題を解いてみよう。

問題$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ とする。$\tan\theta=-3$ のとき,$\cos\theta,~\sin\theta$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
$\cos\theta$ を求めるために,$\tan\theta$ と $\cos\theta$ の関係式を利用しよう。
$1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ より
\begin{align*}
\dfrac{1}{\cos^2\theta}&=1+\tan^2\theta \\[4pt]
&=1+(-3)^2=10 \\[4pt]
\cos^2\theta&=\dfrac{1}{10}
\end{align*}
$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ だから $\cos\theta$ の符号が決まらないと思うのはダメ。$\tan\theta$ の値(符号)が決まっているのだから,角 $\theta$ が鋭角か鈍角かは既に決まっているはずだと思えるようにしよう。この問題では $\tan\theta$ が負であるから,$\theta$ は鈍角であり,$\cos\theta$ の値も負であることが分かる。よって
\begin{align*}
\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}
\end{align*}
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より
\begin{align*}
\sin\theta&=\tan\theta\cos\theta \\[4pt]
&=-3\times\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{3}{\sqrt{10}}
\end{align*}

三角比の相互関係のまとめ

ヒロ
ヒロ

三角比の相互関係をまとめると次のようになる。

三角比の相互関係
  1.  $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
  2.  $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
  3.  $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$
  4.  $1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}$
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