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多項式を完全平方式で割ったときの余りの様々な求め方

多項式を完全平方式で割ったときの余り数学IAIIB
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$x$ の多項式を完全平方式 $(ax+b)^2$ で割ったときの余りを求める問題について説明します。

通常よくある解法の説明以外に,2次の完全平方式で割ったときの余りと接線の方程式の関係についても説明します。

それでは,次の問題を解いてみましょう。

2013年 法政大$x^9-x^8-2x^7$ を $x^2-4x+4$ で割った余りは,$\myBox{アイウ}\,x-\myBox{エオカ}$ である。
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2013年 法政大の問題の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

$x$ の多項式を2次式で割っているから,その余りは当然2次式になるね。

ヒロ
ヒロ

ということで,余りを $ax+b$ とおいて解答を進めていこう。

【考え方と解答】
$x^9-x^8-2x^7$ を $x^2-4x+4$ で割ったときの商を $Q(x)$,余りを $ax+b$ とすると
\begin{align*}
x^9-x^8-2x^7&=(x^2-4x+4)Q(x)+ax+b \\[4pt]
&=(x-2)^2Q(x)+ax+b~\cdots\cdots①
\end{align*}
と表せる。
ヒロ
ヒロ

この等式の意味を考えてみよう。

【等式から読み取れること】
 ①を変形すると
\begin{align*}
x^9-x^8-2x^7-(ax+b)=(x-2)^2Q(x)
\end{align*}
となる。これは連立方程式
\begin{align*}
\begin{cases}
y=x^9-x^8-2x^7 \\[4pt]
y=ax+b
\end{cases}
\end{align*}
が $x=2$ を重解にもつということである。
 さらに「グラフ」という視点で見ると,$y=x^9-x^8-2x^7$ のグラフと直線 $y=ax+b$ が点 $(2,~0)$ で接していることを表している。
2次の完全平方式で割った余り多項式 $f(x)$ を $(x-p)^2$ で割った余りを $g(x)$ とすると,$y=g(x)$ のグラフは点 $(p,~f(p))$ における接線である。
【2013年 法政大の解答】
$f(x)=x^9-x^8-2x^7$ とし,求める余りを $g(x)$ とすると,$y=g(x)$ は点 $(2,~f(2))$ における接線の方程式となる。
\begin{align*}
f'(x)&=9x^8-8x^7-14x^6 \\[4pt]
f'(2)&=2^6(36-16-14) \\[4pt]
&=64\times6=384
\end{align*}
であり,$f(2)=0$ より
\begin{align*}
g(x)&=f'(2)(x-2) \\[4pt]
&=384(x-2)
\end{align*}
したがって,求める余りは $384x-768$

よくある考え方と解答

$x^9-x^8-2x^7$ を $x^2-4x+4$ で割った余りは,$\myBox{アイウ}\,x-\myBox{エオカ}$ である。

ヒロ
ヒロ

よくある考え方で解くと次のようになる。

【別解】
条件より $x^9-x^8-2x^7$ は次のように表せる。
\begin{align*}
x^9-x^8-2x^7&=(x-2)^2Q(x)+ax+b
\end{align*}
$x=2$ を代入すると
\begin{align*}
&2a+b=2^8(2-1-1)=0 \\[4pt]
&b=-2a
\end{align*}
①より
\begin{align*}
&x^9-x^8-2x^7=(x-2)^2Q(x)+ax-2a \\[4pt]
&(x-2)(x^8+x^7)=(x-2)^2Q(x)+a(x-2) \\[4pt]
&(x-2)(x^8+x^7)=(x-2)\{(x-2)Q(x)+a\}
\end{align*}
上式は $x$ についての恒等式であるから
\begin{align*}
x^8+x^7=(x-2)Q(x)+a
\end{align*}
となる。$x=2$ を代入すると
\begin{align*}
a&=2^8+2^7 \\[4pt]
&=256+128=384
\end{align*}
このとき $b=-2a=-768$ であるから,求める余りは
\begin{align*}
384x-768
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最初に $x=2$ を代入して得られた等式を利用して一文字消去するのがポイントだね。

二項定理を用いた考え方と解答

$x^9-x^8-2x^7$ を $x^2-4x+4$ で割った余りは,$\myBox{アイウ}\,x-\myBox{エオカ}$ である。

ヒロ
ヒロ

次は二項定理を利用した解法を説明しておく。

【二項定理を利用した解答】
 条件より
\begin{align*}
x^9-x^8-2x^7=(x-2)^2Q(x)+ax+b~\cdots\cdots①
\end{align*}
と表せる。ここで $x-2=t$ とおくと
\begin{align*}
(t+2)^9-(t+2)^8-2(t+2)^7=t^2Q(t+2)+a(t+2)+b
\end{align*}
これは左辺を $t^2$ で割ったときの余りが $a(t+2)+b$ であることを示している。
 左辺の1次以下の項を求めると,
\begin{align*}
&9t\Cdota2^8+2^9-(8t\Cdota2^7+2^8)-2(7t\Cdota2^6+2^7) \\[4pt]
&=2^6(36-16-14)t+2^8(2-1-1) \\[4pt]
&=384t
\end{align*}
となる。よって,求める余りは
\begin{align*}
ax+b&=384(x-2) \\[4pt]
&=384x-768
\end{align*}
ヒロ
ヒロ
完全平方式を $t^2$ とおくことで,左辺の1次以下の項を求めれば余りを求められるのは,人によっては楽に感じるだろう。

微分を用いた考え方と解答

$x^9-x^8-2x^7$ を $x^2-4x+4$ で割った余りは,$\myBox{アイウ}\,x-\myBox{エオカ}$ である。

ヒロ
ヒロ

余りを $ax+b$ とおくと,未知数が2つになるけど,代入する $x$ の値が1つしかないことが,この問題の難しいところ。

ヒロ
ヒロ

そこで微分を考えることで,その難しいところを突破しようという考え方があるので紹介しておく。

ヒロ
ヒロ

ただし,数学Ⅲの積の微分法を利用するので,数学Ⅲの微積を学習していないと難しいかもしれない。

積の微分法$y=f(x)g(x)$ のとき
\begin{align*}
y’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\end{align*}
【微分を用いた解答】
条件より
\begin{align*}
x^9-x^8-2x^7=(x-2)^2Q(x)+ax+b~\cdots\cdots①
\end{align*}
と表せる。両辺を $x$ で微分すると
\begin{align*}
9x^8-8x^7-14x^6=2(x-2)Q(x)+(x-2)^2Q'(x)+a~\cdots\cdots②
\end{align*}
①,②に $x=2$ を代入するとそれぞれ次のようになる。
\begin{align*}
&\begin{cases}
2a+b=0 \\[4pt]
a=384
\end{cases} \\[4pt]
&a=384,~b=-768
\end{align*}
よって,求める余りは $384x-768$
ヒロ
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積の微分法を利用できる人なら,記述式でも楽なこの方法が良いのかもしれない。

完全平方式で割ったときの余りについてのまとめ

ヒロ
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多項式を完全平方式で割ったときの余りの求め方をまとめると次のようになる。

完全平方式で割ったときの余り
  1. 1文字消去
  2. 二項定理を利用
  3. 微分(積の微分法)を利用
  4. 微分(接線の方程式)を利用
ヒロ
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別解を知ることは他の単元の知識をつなげるという意味で非常に重要である。

ヒロ
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たった1問で様々な単元の復習ができるため,色々な方法で解いて数学力を伸ばそう。

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