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相反方程式の解法とは?【鹿児島大・慶應義塾大】

相反方程式とは?数学IAIIB
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ここでは相反方程式について説明していきます。そもそも「相反方程式」を聞いたことがない人は絶対に知っておかないと損,というかもはや受験生ではありません。

全く知らない状態で入試当日に相反方程式が出題されたら,結構戸惑うかもしれませんし,全く手を付けることができず,白紙解答になってしまうかもしれません。そんなことにならないためにも,解法をしっかり押さえておきましょう。

2014年 鹿児島大次の問いに答えよ。
(1) $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$ とおく。このとき,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$ と $\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$ をそれぞれ $t$ についての多項式で表せ。
(2) $\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}$ を $t$ についての多項式で表せ。
(3) 4次方程式 $2x^4-3x^3-5x^2-3x+2=0$ の解をすべて求めよ。
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2文字の対称式の変形の応用

(1) は対称式の応用ですね!

ヒロ
ヒロ

そうだね。軽く対称式の変形について復習しておこう。

2文字の対称式の変形
  1. $\displaystyle
    x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
    $
  2. $\displaystyle
    x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)
    $
  3. $\displaystyle
    x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2
    $
  4. $\displaystyle
    x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-(xy)^2(x+y)
    $

その式で $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ とおけば良いんですよね!

ヒロ
ヒロ

そうだね。スムーズに書けるようにしておこう!

2文字の対称式の変形の応用
  1. $\displaystyle
    x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2
    $
  2. $\displaystyle
    x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac1x\right)^3-3\left(x+\frac1x\right)
    $
  3. $\displaystyle
    x^4+y^4=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2
    $
  4. $\displaystyle
    x^5+\frac{1}{x^5}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)
    \left(x^3+\frac1{x^3}\right)-\left(x+\frac1x\right)
    $

ということで,(1) の答えはこうなります!

\begin{align*}
x^2+\frac{1}{x^2}&=\left(x+\frac1x\right)^2-2 \\[4pt]&=t^2-2 \\[4pt]x^3+\frac{1}{x^3}&=\left(x+\frac1x\right)^3-3\left(x+\frac1x\right) \\[4pt]&=t^3-3t
\end{align*}

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