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分数式の変形の原則【分子の次数下げ】
(2) はどうするんですか？
ヒロ
分数式を変形していくことになるよね？分数式の変形の原則を覚えてるかな？
分子の次数を分母の次数より小さくするんですよね？
ヒロ
いいね！今回は分子を $x^2$ で割れば良いんだから，各項で割っていけばいいね。
なるほど。やってみます。
\begin{align*}
\frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}=2x^2-3x-5-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}
\end{align*}
\frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}=2x^2-3x-5-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}
\end{align*}
ヒロ
$t$ で表せってことは，与式を $\displaystyle x+\frac{1}{x},x^2+\frac{1}{x^2},x^3+\frac{1}{x^3}$ で表すことができれば解決だね。
そっか。分かりました！
\begin{align*}
(与式)&=2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\frac{1}{x}\right)-5 \\[4pt]
&=2(t^2-2)-3t-5 \\[4pt]
&=2t^2-3t-9
\end{align*}
(与式)&=2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\frac{1}{x}\right)-5 \\[4pt]
&=2(t^2-2)-3t-5 \\[4pt]
&=2t^2-3t-9
\end{align*}
出来ました！
ヒロ
完璧だね。
文字で割る前に確認すること【0で割れない】
ヒロ
次は (3) だね。
これって (2) と関係あるんですよね？
ヒロ
なんでそう思うの？
(2) の分子に同じ式があるからです。
ヒロ
そこに気付くことが重要だね。与えられた４次方程式の両辺を $x^2$ で割れば同じ式になるね。
じゃあ，$x^2$ で割りますね！
ヒロ
ちょっと待った！何かすることがあるんだけど分かるかな？
え・・・分かりません。
ヒロ
文字で割ろうとしてるんだよね？
文字で割る前に確認すること割る文字が０になる可能性をチェックする。０になることがあるなら場合分けをする。
でも今回は明らかに $x^2$ は０にならないですよね？
ヒロ
なんでそう思うの？
だって，$x=0$ を代入したら成り立たないじゃないですか。
ヒロ
うん，そうだね。だから，それを解答に書こう！何も書いていなければ，採点者には伝わらない。
分かりました。
与方程式に $x=0$ を代入すると成り立たないから，$x\neq0$ である。両辺を $x^2$ で割ると，
\begin{align*}
\frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}=0
\end{align*}
(2)の結果より，\frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}=0
\end{align*}
\begin{align*}
&2t^2-3t-9=0 \\[4pt]
&(t-3)(2t+3)=0 \\[4pt]
&t=3,-\frac{3}{2}
\end{align*}
&2t^2-3t-9=0 \\[4pt]
&(t-3)(2t+3)=0 \\[4pt]
&t=3,-\frac{3}{2}
\end{align*}
出来ました！
ヒロ
いいね！このあとは，それぞれの $t$ の値に対応する $x$ の値を求めれば良いね！
やってみます。
$t=3$ のとき
$\displaystyle t=-\frac{3}{2}$ のとき
\begin{align*}
&x+\frac{1}{x}=3 \\[4pt]
&x^2-3x+1=0 \\[4pt]
&x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}
\end{align*}
&x+\frac{1}{x}=3 \\[4pt]
&x^2-3x+1=0 \\[4pt]
&x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}
\end{align*}
$\displaystyle t=-\frac{3}{2}$ のとき
\begin{align*}
&x+\frac{1}{x}=-\frac{3}{2} \\[4pt]
&2x^2+3x+2=0 \\
&x=\frac{-3\pm\sqrt{7}i}{4}
\end{align*}
よって，求める解は $\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2},\frac{-3\pm\sqrt{7}i}{4}$&x+\frac{1}{x}=-\frac{3}{2} \\[4pt]
&2x^2+3x+2=0 \\
&x=\frac{-3\pm\sqrt{7}i}{4}
\end{align*}
ヒロ
よし，オッケーだね！