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相反方程式の解法とは?【鹿児島大・慶應義塾大】

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分数式の変形の原則【分子の次数下げ】

(2) はどうするんですか?

ヒロ
ヒロ

分数式を変形していくことになるよね?分数式の変形の原則を覚えてるかな?

分子の次数を分母の次数より小さくするんですよね?

ヒロ
ヒロ

いいね!今回は分子を $x^2$ で割れば良いんだから,各項で割っていけばいいね。

なるほど。やってみます。

\begin{align*}
\frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}=2x^2-3x-5-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$t$ で表せってことは,与式を $\displaystyle x+\frac{1}{x},x^2+\frac{1}{x^2},x^3+\frac{1}{x^3}$ で表すことができれば解決だね。

そっか。分かりました!

\begin{align*}
(与式)&=2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\frac{1}{x}\right)-5 \\[4pt]
&=2(t^2-2)-3t-5 \\[4pt]
&=2t^2-3t-9
\end{align*}

出来ました!

ヒロ
ヒロ

完璧だね。

文字で割る前に確認すること【0で割れない】

ヒロ
ヒロ

次は (3) だね。

これって (2) と関係あるんですよね?

ヒロ
ヒロ

なんでそう思うの?

(2) の分子に同じ式があるからです。

ヒロ
ヒロ

そこに気付くことが重要だね。与えられた4次方程式の両辺を $x^2$ で割れば同じ式になるね。

じゃあ,$x^2$ で割りますね!

ヒロ
ヒロ

ちょっと待った!何かすることがあるんだけど分かるかな?

え・・・分かりません。

ヒロ
ヒロ

文字で割ろうとしてるんだよね?

文字で割る前に確認すること割る文字が0になる可能性をチェックする。0になることがあるなら場合分けをする。

でも今回は明らかに $x^2$ は0にならないですよね?

ヒロ
ヒロ

なんでそう思うの?

だって,$x=0$ を代入したら成り立たないじゃないですか。

ヒロ
ヒロ

うん,そうだね。だから,それを解答に書こう!何も書いていなければ,採点者には伝わらない

分かりました。

与方程式に $x=0$ を代入すると成り立たないから,$x\neq0$ である。両辺を $x^2$ で割ると,
\begin{align*}
\frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}=0
\end{align*}
(2)の結果より,
\begin{align*}
&2t^2-3t-9=0 \\[4pt]
&(t-3)(2t+3)=0 \\[4pt]
&t=3,-\frac{3}{2}
\end{align*}

出来ました!

ヒロ
ヒロ

いいね!このあとは,それぞれの $t$ の値に対応する $x$ の値を求めれば良いね!

やってみます。

$t=3$ のとき
\begin{align*}
&x+\frac{1}{x}=3 \\[4pt]
&x^2-3x+1=0 \\[4pt]
&x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}
\end{align*}

$\displaystyle t=-\frac{3}{2}$ のとき
\begin{align*}
&x+\frac{1}{x}=-\frac{3}{2} \\[4pt]
&2x^2+3x+2=0 \\
&x=\frac{-3\pm\sqrt{7}i}{4}
\end{align*}
よって,求める解は $\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2},\frac{-3\pm\sqrt{7}i}{4}$
ヒロ
ヒロ

よし,オッケーだね!

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