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2018年センター試験 数学ⅠA 第1問 二次関数

2018年 センター数学ⅠA 二次関数数学IAIIB
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2018年センター試験 数学ⅠA 第1問 二次関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2018年 センターⅠA 第1問 二次関数 $a$ を正の実数とし
\begin{align*}
f(x)=ax^{2}-2(a+3)x-3a+21
\end{align*}
とする。2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の $x$ 座標を $p$ とおくと
\begin{align*}
p=\myBox{サ}+\dfrac{\myBox{シ}}{a}
\end{align*}
である。
 $0\leqq x\leqq4$ における関数 $y= f(x)$ の最小値が $f(4)$ となるような $a$ の値の範囲は
\begin{align*}
0<a\leqq\mybox{ス}
\end{align*}
である。
 したがって,$0\leqq x\leqq4$ における関数 $y= f(x)$ の最小値が1であるのは
\begin{align*}
a=\dfrac{\myBox{ソ}}{\myBox{タ}}~または~a=\dfrac{\myBox{チ}+\sqrt{\myBox{ツテ}}}{\myBox{ト}}
\end{align*}
のときである。
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考え方と解答

ヒロ
ヒロ

まずは頂点の $x$ 座標を求める問題。

ヒロ
ヒロ

軸の方程式と同じだから簡単だね。

【サシの解答】
\begin{align*}
p=\dfrac{2(a+3)}{2a}=1+\dfrac{3}{a}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は定義域の右側で最小値をとるような $a$ の値の範囲を求める問題。

ヒロ
ヒロ

一言で定義域の右側で最小になるといっても,上に凸と下に凸では,条件が変わってくるから $x^2$ の係数の符号に注意しよう。

【スの解答】
$a>0$ より $y=f(x)$ のグラフは下に凸である。
$0\leqq x\leqq4$ における $f(x)$ の最小値が $f(4)$ となるのは,軸の方程式 $x=p$ について,$p\geqq4$ を満たすときである。
\begin{align*}
&1+\dfrac{3}{a}\geqq4 \\[4pt]
&\dfrac{3}{a}\geqq3 \\[4pt]
&a\leqq1
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は頂点の $y$ 座標が最小値になるようにする問題。

【セの解答】
$y=f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であるから,
\begin{align*}
&0<p\leqq4 \\[4pt]
&0<1+\dfrac{3}{a}\leqq4 \\[4pt]
&\dfrac{3}{a}\leqq3 \\[4pt]
&1\leqq a
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後は最小値が1になるときの $a$ の値の範囲を求める問題。

ヒロ
ヒロ

これまでの問題で,最小値は $f(4)$ のときと $f(p)$ のときがあるから場合分けして考えよう。

ヒロ
ヒロ

ちなみに $a>0$ より,$p>0$ となるため,最小値が $f(0)$ となることはない。

【ソ~トの解答】
(i) 最小値が $f(4)$ のとき
\begin{align*}
&16a-8(a+3)-3a+21=1 \\[4pt]
&5a-3=1 \\[4pt]
&a=\dfrac{4}{5}
\end{align*}
これは $0\leqq a\leqq1$ を満たす。
(ii) 最小値が $f(p)$ のとき
判別式を $D$ とすると,頂点の $y$ 座標は $-\dfrac{D}{4a}$ となるから
\begin{align*}
&-\dfrac{D}{4a}=1 \\[4pt]
&\dfrac{D}{4}=-a
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
\dfrac{D}{4}&=(a+3)^2-a(-3a+21) \\[4pt]
&=4a^2-15a+9
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
&4a^2-15a+9=-a \\[4pt]
&4a^2-14a+9=0 \\[4pt]
&a=\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{4}
\end{align*}
$1\leqq a$ より,$a=\dfrac{7+\sqrt{13}}{4}$
ヒロ
ヒロ

平方完成するのも面倒だし,かと言って,$p=1+\dfrac{3}{a}=\dfrac{a+3}{a}$ を代入するのも面倒だね。

ヒロ
ヒロ

個人的には判別式を利用するのが書く量も減るので楽な気がする。

2018年 センター数学ⅠA 二次関数を解いた感想

ヒロ
ヒロ

最初の頂点の $x$ 座標については,基本中の基本なので間違える人はほとんどいないだろう。

ヒロ
ヒロ

$\myBox{ス}$, $\myBox{セ}$ については,軸の位置によって最小値が変化することを理解しておこう。

ヒロ
ヒロ

また,上に凸になっている場合もあるので,$x^2$ の係数を常にチェックするようにしよう。

ヒロ
ヒロ

最後は頑張って計算するのみ!工夫するなら判別式を利用するのもアリ。

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