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【数学ⅡB】3次方程式が2重解をもつ条件【学習院大・聖マリアンナ医科大・自治医科大】

3次方程式が重解をもつ条件数学IAIIB
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ここでは3次方程式が2重解をもつ条件に関する問題について説明します。

3次方程式に関する問題の中でも,よく出題され,差が付きやすい問題です。

入試本番で見たときのために,確実に解けるようにしておきましょう。

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3次方程式が重解をもつ条件

ヒロ
ヒロ

まずは3次方程式が重解をもつ条件を考えよう。

ヒロ
ヒロ

「重解」とは解が重なっている状態のこと。

【重解の具体例】
例えば,$x=5$ が $ax^3+bx^2+cx+d=0~\cdots\cdots①$ の2重解のとき,①の解は $5,~5,~t$($t$ は5以外)となる。したがって,方程式①は
\begin{align*}
a(x-5)^2(x-t)=0
\end{align*}
となっているはずである。
ヒロ
ヒロ

一般化すると次のことがいえる。

方程式が重解をもつ$n$ 次方程式 $f(x)=0$ が $x=t$ を重解にもつとき,$f(x)$ は $(x-t)^2$ を因数にもつ。

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