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【数学Ⅰ】1次不等式の解に関する問題

【数学Ⅰ】1次不等式の解に関する問題数学IAIIB
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大小関係を表す不等式そのものは中学校で学習します。

しかし未知数 $x$ に関する不等式を解く問題は高校数学で学習します。

不等式の解は,ある値の範囲になることが多いのですが,不等式に未知数 $x$ とは異なる文字があるときに,何の文字の範囲を考えているのか訳が分からなくなる人がいます。

何を考えているのかしっかり把握することが大切です。

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1次不等式の解が値を含むとは?

ヒロ
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それでは次の問題を考えよう。

問題1$x$ の不等式 $3x+5>x-a$ の解が $x=3$ を含むように,定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
ヒロ
ヒロ

まず不等式の解を求めよう。

【問題1の考え方と解答】
$3x+5>x-a$より,$x>\dfrac{-a-5}{2}$
この範囲が $x=3$ を含むから,次の図のようになればよい。
【数学Ⅰ】1次不等式の解に関する問題
したがって
\begin{align*}
&\dfrac{-a-5}{2}<3~\cdots\cdots① \\[4pt]&-a-5<6 \\[4pt]&a>-11
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

このような問題で最も注意すべきことは等号の有無。

【等号の有無に注意しよう】
\begin{align*}
\dfrac{-a-5}{2}<3~~,~~\dfrac{-a-5}{2}\leqq3
\end{align*}
のどちらが正しいのかを気にすることである。
実際に $\dfrac{-a-5}{2}=3$ として考えると,判別できる。
【数学Ⅰ】1次不等式の解に関する問題
上図において,$\dfrac{-a-5}{2}<x$ の範囲に $x=3$ が入っているかどうかを考える。
$\dfrac{-a-5}{2}$ が白丸だから,$x=3$ は $\dfrac{-a-5}{2}<x$ の範囲に入っていない。つまり,今回の問題では $\dfrac{-a-5}{2}=3$ となってはいけないことが分かる。
ヒロ
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別の解法も吸収しよう。

ヒロ
ヒロ

不等式の解の意味を考えると次のように解くことができる。

ヒロ
ヒロ

$x=3$ が不等式の解ということは,不等式の $x$ に3を代入すると,その不等式が成り立つということ。

【問題1の別解】
$x=3$ が不等式の解だから,
\begin{align*} 3\Cdota3+5>3-a \end{align*}
が成り立つ。これを解いて,$a>-11$ となる。
ヒロ
ヒロ

次のポイントをしっかり理解しておこう。

1次不等式の解が特定の値を含むための条件
  1. 1次不等式の解 $x\geqq a$ が $x=b$ を含むとき,$a\leqq b$が成り立つ。
    【数学Ⅰ】1次不等式の解に関する問題
  2. 1次不等式の解 $x>a$ が $x=b$ を含むとき,$a<b$ が成り立つ。
    【数学Ⅰ】1次不等式の解に関する問題
ヒロ
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このようにポイントをまとめているが,これは形式上そうしているだけで,丸暗記しろとは言ってない。

1次不等式の解が値を含まないとは?

ヒロ
ヒロ

それでは次の問題を考えてみよう。

問題2$x$ の不等式 $3x-4>2x+a$ の解が $x=-2$ を含まないように,定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
ヒロ
ヒロ

今度は「含まない」となっているけど,問題1の解法を理解できていたら,それほど難しくないだろう。

【問題2の考え方と解法】
解が $x=-2$ を含まないとき,下の図のようになればよい。
【数学Ⅰ】1次不等式の解に関する問題
したがって
\begin{align*}
&-2\leqq a+4~\cdots\cdots\cdots① \\[4pt]&a\geqq-6
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$-2=a+4$ のときに,$-2$ は $x\geqq a+4$ の範囲に含まれないことを理解しよう。

ヒロ
ヒロ

「$x=-2$ を含まない」条件を満たすから $-2=a+4$ すなわち $a=-6$ のときも $a$ が取り得る値の範囲に含めなければならない。

ヒロ
ヒロ

否定の形で書かれているとややこしいけど,しっかり考えて答えるようにしよう。

ヒロ
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特に,不等式の解の不等号の向きと,$a$ の値の範囲を表す不等式の不等号の向きとは別物であることをしっかり理解しないといけない。

等号があるから等号をつけるとか,含まれないという否定形だから等号をつけないという思考停止状態にならないようにしよう。
ヒロ
ヒロ

それでは別の方法でも解いておこう。

【問題2の別解】
$x=-2$ が不等式の解でないから,
\begin{align*}
&3\Cdota(-2)-4\leqq 2\Cdota(-2)+a \\[4pt]&-10\leqq a-4 \\[4pt]&a\geqq-6
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

先程と同様,次のことを理解しておこう。

1次不等式の解が特定の値を含まないための条件
  1. 1次不等式の解 $x\geqq a$ が $x=b$ を含まないとき,$a>b$ が成り立つ。
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  2. 1次不等式の解 $x>a$ が $x=b$ を含まないとき,$a\geqq b$ が成り立つ。
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1次不等式の解が一致するとは?

ヒロ
ヒロ

それでは次の問題を考えることにしよう。

問題3$x$ の不等式 $5x-3>x+a$ の解が $x>2$ となるように,定数 $a$ の値を定めよ。
ヒロ
ヒロ

まずは与えられた不等式を解こう。

【問題3の考え方と解答】
$5x-3>x+a$ より,
\begin{align*}
&4x>a+3 \\[4pt]&x>\dfrac{a+3}{4}
\end{align*}
$x$ の範囲を数直線を用いて表すと次のようになる。
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また,指定されている解 $x>2$ を数直線で表すと次のようになる。
【数学Ⅰ】1次不等式の解に関する問題
2つの図で表した範囲が一致する条件を考えると,
\begin{align*}
&\dfrac{a+3}{4}=2 \\[4pt]&a+3=8 \\[4pt]&a=5
\end{align*}
1次不等式の解が一致するための条件

1次不等式の解 $x>a$ が $x>b$ となるとき,$a=b$ が成り立つ。

1次不等式の解が含まれるとは?

ヒロ
ヒロ

それでは次の問題を考えよう。

問題4$x$ の不等式 $5x+a<3x-2a$ の解が $x<2$ に含まれるとき,定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
ヒロ
ヒロ

「不等式の解が与えられた範囲に含まれる」の意味を理解しよう。

ヒロ
ヒロ

与えられた不等式の解を求めたあと,どう考えれば良いのかを先に考えておこう。

1次不等式の解が特定の範囲に含まれるための条件
  1. 1次不等式の解 $x\geqq a$ が $x\geqq b$ に含まれるとき,$a\geqq b$ が成り立つ。
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  2. 1次不等式の解 $x>a$ が $x>b$ に含まれるとき,$a\geqq b$ が成り立つ。
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  3. 1次不等式の解 $x\geqq a$ が $x>b$ に含まれるとき,$a>b$ が成り立つ。
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  4. 1次不等式の解 $x>a$ が $x\geqq b$ に含まれるとき,$a\geqq b$ が成り立つ。
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ヒロ
ヒロ

安易に「不等式の解の等号があるから $a$ がみたす不等式にも等号をつける」とならないようにしよう。

ヒロ
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上のことをしっかり理解することができていれば問題4も解けるはず。

ヒロ
ヒロ

間違っても上のポイントを丸覚えしようなんて思ってはいけない。

【問題4の解答】
$5x+a<3x-2a$ より,$x<-\dfrac32a$ これが $x<2$ に含まれる条件は,$-\dfrac32a\leqq2$ これを解いて,$a\geqq\dfrac43$
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