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【数学ⅡB】部分分数に分解する基本的な考え方

部分分数分解の基本数学IAIIB
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部分分数分解の仕組み

ヒロ
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簡単な例を通じて,部分分数分解の基本的な考え方を身に付けよう。

【部分分数分解は通分の逆】
 例として,$\dfrac{1}{6}$ を2つの分数の和(差)で表すことを考える。$6=2\times3$ であるから,$\dfrac{1}{6}$ を $\dfrac{1}{2}$ と $\dfrac{1}{3}$ で表すことを考える。また,分子の1は分母の2数 $2,~3$ を用いて $3-2$ と表すことができるから,引く順序を考えて
\begin{align*}
\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}
\end{align*}
と変形することができる。
ヒロ
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別の例として $\dfrac{7}{12}$ を2つの分数の和(差)で表すことを考えてみよう。

【部分分数分解の別の例】
$12=3\times4$ であり,分子の7は $3+4$ であるから,
\begin{align*}
\dfrac{7}{12}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}
\end{align*}
と変形することができる。
ヒロ
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1つの分数を2つの分数の和や差で表すことができれば,基本的な考えは身に付いたといえるだろう。

分数式の部分分数分解

ヒロ
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それでは,文字を含む分数式を部分分数に分解する練習をしていこう。

問題次の式を部分分数分解せよ。
(1) $\dfrac{1}{x(x+1)}$
(2) $\dfrac{2x-1}{x(x-1)}$
【考え方と解答】
(1) 分母の因数と分子を見て,$(x+1)-x=1$ であることを考えて
\begin{align*}
\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}
\end{align*}
(2) (1)と同じように,$x+(x-1)=2x-1$ であることを考えると
\begin{align*}
\dfrac{2x-1}{x(x-1)}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}
\end{align*}

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