漸化式パターン3の第二弾となります。パターン3は $f(n)$ の形に応じて，次の4つのタイプに分けることができます。
- 1次式
- 2次式 ← この記事ではこのタイプを解説
- $n+k$ 乗 ($k$ は整数)
- 分数式
$f(n)$ が $qn^2+rn+s$ と2次式で表される漸化式の解法を説明します。
パターン3の中ではほとんど出題されないタイプですが，出題されたときに手も足もでないというのでは，勿体ないのでしっかり得点できるようにしましょう。
それでは，次の問題を考えましょう。
2017年 学習院大数列 $\{a_n\}$ を条件
(1) $f(x)=px^2+qx+r$ とするとき
(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。
\begin{align*}
a_1=1,~a_{n+1}=2a_n+n^2~(n=1,2,\cdots)
\end{align*}
によって定める。a_1=1,~a_{n+1}=2a_n+n^2~(n=1,2,\cdots)
\end{align*}
(1) $f(x)=px^2+qx+r$ とするとき
\begin{align*}
a_{n+1}+f(n+1)=2(a_n+f(n))~(n=1,2,\cdots)
\end{align*}
が成り立つような実数 $p,q,r$ を求めよ。a_{n+1}+f(n+1)=2(a_n+f(n))~(n=1,2,\cdots)
\end{align*}
(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。