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漸化式パターン3:$a_{n+1}=pa_n+qn^2+rn+s$$~(p\neq1)$ 型の解法

漸化式パターン3 part2数学IAIIB
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漸化式パターン3の第二弾となります。パターン3は $f(n)$ の形に応じて,次の4つのタイプに分けることができます。

  • 1次式 
  • 2次式 ← この記事ではこのタイプを解説
  • $n+k$ 乗 ($k$ は整数)
  • 分数式

$f(n)$ が $qn^2+rn+s$ と2次式で表される漸化式の解法を説明します。
パターン3の中ではほとんど出題されないタイプですが,出題されたときに手も足もでないというのでは,勿体ないのでしっかり得点できるようにしましょう。

それでは,次の問題を考えましょう。

2017年 学習院大数列 $\{a_n\}$ を条件
\begin{align*}
a_1=1,~a_{n+1}=2a_n+n^2~(n=1,2,\cdots)
\end{align*}
によって定める。
(1) $f(x)=px^2+qx+r$ とするとき
\begin{align*}
a_{n+1}+f(n+1)=2(a_n+f(n))~(n=1,2,\cdots)
\end{align*}
が成り立つような実数 $p,q,r$ を求めよ。
(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。

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