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【数学ⅡB】部分分数に分解する基本的な考え方

部分分数分解の基本数学IAIIB
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単なる和や差ではない部分分数分解

ヒロ
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当然であるが,単に2つの分数を足したり引いたりするだけで部分分数に分解できる分数ばかりではない。

問題$\dfrac{5}{12}$ を2つの分数の和または差で表せ。
【考え方と解答】
分母の素因数の差が1のときは簡単に変形できる。$12=3\times4$ で,$4-3=1$ だから
\begin{align*}
\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}
\end{align*}
であることが分かる。両辺を5倍することで
\begin{align*}
\dfrac{5}{12}=\dfrac{5}{3}-\dfrac{5}{4}
\end{align*}
となる。分子が分母より大きいのが気に入らない場合は,さらに変形すればよい。
\begin{align*}
\dfrac{5}{12}&=\left(1+\dfrac{2}{3}\right)-\left(1+\dfrac{1}{4}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}
\end{align*}

単なる和や差ではない分数式の部分分数分解

問題次の式を部分分数分解せよ。
(1) $\dfrac{1}{x(x+2)}$
(2) $\dfrac{x+1}{(x-1)(3x+5)}$
【(1)の考え方と解答】
分母の因数の差が $(x+2)-x=2$ となっていることに着目すると
\begin{align*}
\dfrac{2}{x(x+2)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}
\end{align*}
であることが分かる。両辺に $\dfrac{1}{2}$ をかけて
\begin{align*}
\dfrac{1}{x(x+2)}=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{2(x+2)}
\end{align*}
となる。

(2) $\dfrac{x+1}{(x-1)(3x+5)}$

【(2)の考え方と解答】
分母の因数の和や差を考えてみると,次のようになる。
\begin{align*}
&(x-1)+(3x+5)=4x+4 \\[4pt]&(3x+5)-(x-1)=2x+6
\end{align*}
この結果から,和を考えたときに分子が $x+1$ の定数倍(4倍)になっていることが分かる。したがって,
\begin{align*}
\dfrac{x+1}{(x-1)(3x+5)}&=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{3x+5}\right)
\end{align*}
と変形できる。
ヒロ
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ここで扱ったものは,すべて分母の因数の和や差の定数倍を考えるとうまくいくものばかりである。

ヒロ
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しかし,このような簡単なものばかりではないため,複雑な分数式を部分分数分解するときは,未知数を設定して考える必要が出てくる。

ヒロ
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これについては,また別の記事で扱うことにする。

ヒロ
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どうでもいいから,部分分数分解を楽にする方法を知りたい人は,次の記事を読むとハッピーになるだろう。

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