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双曲線(焦点・媒介変数表示・極方程式・接線)【群馬大】

双曲線のグラフ・焦点・媒介変数表示・極方程式・接線数学III
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双曲線は,2つの定点までの距離の差が一定である点の軌跡として定義されます。また,その2つの定点を焦点といいます。

ここでは,双曲線の方程式の導出から始め,焦点の覚え方や媒介変数表示・極方程式など,双曲線の性質を説明します。

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双曲線の方程式の導出

ヒロ
ヒロ

双曲線の方程式を求めよう。

2つの焦点を $\mathrm{F}(c,~0)$, $\mathrm{F}'(-c,~0)$ $(c>0)$ とし,双曲線上の点を $\mathrm{P}(x,~y)$ とする。$\abs{\mathrm{PF}-\mathrm{PF’}}=2a~(c>a>0)$ とすると,
\begin{align*}
&\abs{\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}}=2a \\[4pt]
&\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}
\end{align*}
両辺を2乗すると
\begin{align*}
&(x-c)^2+y^2=4a^2\pm4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2 \\[4pt]
&4cx+4a^2=\pm4a\sqrt{(x+c)^2+y^2} \\[4pt]
&cx+a^2=\pm a\sqrt{(x+c)^2+y^2}
\end{align*}
さらに両辺を2乗すると
\begin{align*}
&c^2x^2+2ca^2x+a^4=a^2\{(x+c)^2+y^2\} \\[4pt]
&(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2c^2-a^4 \\[4pt]
&\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{c^2-a^2}=1
\end{align*}
ここで,$c^2-a^2=b^2$ とおくと,双曲線の方程式は
\begin{align*}
&\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1
\end{align*}
となり,グラフは図のようになる。
双曲線 焦点 漸近線
また,焦点の座標を $a,~b$ で表すと
\begin{align*}
\mathrm{F}(\sqrt{a^2+b^2},~0),~~\mathrm{F}'(-\sqrt{a^2+b^2},~0)
\end{align*}
となる。
焦点の座標が $\mathrm{F}(0,~c),~\mathrm{F’}(0,-c)$ のとき,方程式は
\begin{align*}
&\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1
\end{align*}
となり,焦点までの距離の差は $2b$ となる。また,グラフは次のようになる。
双曲線 焦点 漸近線

双曲線の焦点の覚え方

ヒロ
ヒロ

双曲線の方程式 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=\pm1$ が与えられたときに,焦点の座標がパッと出てこないことがある。また「双曲線の焦点の座標を覚えられない」とか「すぐ忘れる」って言う人は双曲線の定義からサクッと求められるようにしておこう。

双曲線上に点Pをとったとき,2つの焦点F, F$’$ までの距離の差が一定だから,その距離の差を計算しやすい点を考えよう。ここで,焦点Fの $x$ 座標 $c$ は正とする。
双曲線 焦点 漸近線
点Pを $(a,~0)$ にとったとき,
\begin{align*}
\mathrm{PF’}-\mathrm{PF}=2a
\end{align*}
であることがすぐに分かる。
双曲線 焦点 漸近線
次に点Pを第1象限の無限遠点にとったときを考えると,2直線PFとPF$’$は漸近線と平行になる。
双曲線 焦点 漸近線
無限遠点とは限りなく遠い所にある点のこと。

平行な2直線が無限遠点で交わると考えると,Pが無限遠点であるとき,PFとPF$’$が平行になると言える。

これを感覚的に理解するための1つの例として,北極星を考えよう。北極星は地球からかなり遠い位置にあるため,異なる位置に立っている2人が,北極星に向かって腕を伸ばしたとき,その2人の腕は平行であると言えるだろう。
このような無限遠点を用いた考え方は,物理の光の干渉などでも用いられる。

点FからPF$’$に下ろした垂線の足をHとすると,$\mathrm{PF’}-\mathrm{PF}=\mathrm{F’H}$ となる。
双曲線 焦点 漸近線
また,三角形OABと三角形F$’$HFは相似な直角三角形であることが分かる。図のように $\theta$ を定めて,三角形OABに着目すると
\begin{align*}
\cos\theta=\dfrac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
よって,三角形F$’$HFに着目すると
\begin{align*}
\mathrm{F’H}&=\mathrm{FF’}\cos\theta \\[4pt]&=2c\cos\theta \\[4pt]&=\dfrac{2ac}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
点Pから2焦点までの距離の差は $2a$ であるから,
\begin{align*}
&\dfrac{2ac}{\sqrt{a^2+b^2}}=2a \\[4pt]&c=\sqrt{a^2+b^2}
\end{align*}

これで焦点Fの座標が $(\sqrt{a^2+b^2},~0)$ であると分かる。また,焦点の座標から,原点を中心とする半径 $\sqrt{a^2+b^2}$ の円を考えると,次のような図が得られる。4つの直線 $x=\pm a,~y=\pm b$ で作られる長方形の外接円は2つの焦点も通ることを覚えておくことで,焦点の座標も簡単に覚えられるかもしれない。
双曲線 焦点 漸近線
ヒロ
ヒロ

忘れないことも重要であるが,忘れたときの対処法を用意しておくことも重要。

双曲線の媒介変数表示

ヒロ
ヒロ

双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点を媒介変数 $\theta$ を用いて表すと,$x=\dfrac{a}{\cos\theta}$, $y=b\tan\theta$ となることを確かめよう。

$x=\dfrac{a}{\cos\theta}$, $y=b\tan\theta$ のとき
\begin{align*}
\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}&=\dfrac{a^2}{a^2\cos^2\theta}-\dfrac{b^2\tan^2\theta}{b^2} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{\cos^2\theta}-\tan^2\theta \\[4pt]
&=1
\end{align*}
となり,点 $\mathrm{P}\left(\dfrac{a}{\cos\theta},~b\tan\theta\right)$ が双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上にあることが分かる。
ヒロ
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$\theta$ と点Pの対応を図で確認してみよう。

原点を中心とする半径 $a$ の円を $C$ とし,$x$ 軸の正の方向となす角が $\theta$ である $C$ 上の点をAとする。直線OAと直線 $x=b$ の交点をB,点Aにおける $C$ の接線と $x$ 軸の交点をCとする。
双曲線 焦点 漸近線 媒介変数表示
このとき,点Bの $y$ 座標は $b\tan\theta$ である。また,三角形OACに着目することによって,点Cの $x$ 座標が $\dfrac{a}{\cos\theta}$ であることが簡単に分かる。
ヒロ
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このように考えることで,双曲線上の点 $\mathrm{P}\left(\dfrac{a}{\cos\theta},~b\tan\theta\right)$ と $\theta$ の関係が分かる。

ヒロ
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ちなみに,双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$ 上の点を媒介変数 $\theta$ を用いて表すと,$x=a\tan\theta$,$y=\dfrac{b}{\cos\theta}$ となる。

双曲線の媒介変数表示の別の方法

ヒロ
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双曲線上の点を媒介変数を用いて表す方法として,次のようなものがあることも知っておこう。

$x=\dfrac{a}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right)~(t\neq0)$, $y=\dfrac{b}{2}\left(t-\dfrac{1}{t}\right)$ のとき,
\begin{align*}
\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}&=\dfrac{a^2}{4}\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^2-\dfrac{b^2}{4}\left(t-\dfrac{1}{t}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}\left\{\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^2-\left(t-\dfrac{1}{t}\right)^2\right\} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}\Cdota2t\Cdota\dfrac{2}{t} \\[4pt]
&=1
\end{align*}
よって,点 $\left(\dfrac{a}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right),~\dfrac{b}{2}\left(t-\dfrac{1}{t}\right)\right)$ は双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上にある。

双曲線の極方程式

ヒロ
ヒロ

双曲線の極方程式を導出しよう。

PFと $x$ 軸の正の方向とのなす角を $\theta$ とし,$\mathrm{PF}=r$ とする。
双曲線 焦点 漸近線 極方程式
$\mathrm{PF’}-\mathrm{PF}=2a$ より $\mathrm{PF’}=r+2a$ であるから,$\sankaku{PFF’}$ において余弦定理を適用すると
\begin{align*}
&(r+2a)^2=r^2+(2c)^2-2r\Cdota2c\cos(\pi-\theta) \\[4pt]
&4a^2+4ar=4c^2+4rc\cos\theta \\[4pt]
&a^2+ar=c^2+rc\cos\theta \\[4pt]
&r=\dfrac{c^2-ca^2}{a-c\cos\theta} \\[4pt]
&r=\dfrac{\dfrac{c^2-a^2}{a}}{1-\dfrac{c}{a}\cos\theta}
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
\dfrac{c}{a}=\varepsilon,~~\dfrac{c^2-a^2}{a}=l
\end{align*}
とおくと
\begin{align*}
r=\dfrac{l}{1-\varepsilon\cos\theta}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$\varepsilon=\dfrac{c}{a}$ を離心率ということも覚えておこう。また,$a<c$ より $\varepsilon>1$ であることも分かる。

ヒロ
ヒロ

次に $l$ がどの部分の長さを表しているかを考えよう。

次の図のように,双曲線上の点で $x$ 座標が $c$ の点Qを考えると,実は $\mathrm{QF}=l$ となる。
双曲線 焦点 漸近線 半直弦
$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ を $y~(\geqq0)$ について解くと
\begin{align*}
y=\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}
\end{align*}
となり,$x=c$ を代入すると,
\begin{align*}
\mathrm{QF}=\dfrac{b}{a}\sqrt{c^2-a^2}
\end{align*}
ここで $b=\sqrt{a^2-c^2}$ であるから
\begin{align*}
\mathrm{QF}=\dfrac{c^2-a^2}{a}~\left(=\dfrac{b^2}{a}\right)
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

焦点Fからの距離を $r$ としたため,$r=\dfrac{l}{1-\varepsilon\cos\theta}$ のグラフは次の図のようになる。焦点Fが原点の位置にくることに注意しよう。
双曲線 焦点 漸近線 極方程式

双曲線に関する入試問題【2019年 群馬大】

2019年 群馬大原点を中心とする半径 $\sqrt{3}$ の円 $C_1$ と媒介変数 $\theta$ を用いて $x=\dfrac{1}{\cos\theta}$, $y=\tan\theta$ $\left(-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ で表される曲線 $C_2$ について,次の問に答えよ。
(1) $C_1$ と $C_2$ の交点で,第1象限にあるものの座標を求めよ。
(2) (1)で求めた交点における $C_2$ の接線の方程式を求めよ。
(3) $C_1$ と $C_2$ で囲まれた原点を含まない図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。
ヒロ
ヒロ

$C_1$ と $C_2$ の交点を求めるのだから,連立方程式を解こう。

【(1)の解答】
円 $C_1$ の方程式は $x^2+y^2=3$ と表される。$x=\dfrac{1}{\cos\theta}$, $y=\tan\theta$ を代入すると
\begin{align*}
&\dfrac{1}{\cos^2\theta}+\tan^2\theta=3 \\[4pt]
&(1+\tan^2\theta)+\tan^2\theta=3 \\[4pt]
&\tan^2\theta=1 \\[4pt]
&\tan\theta=\pm1
\end{align*}
求める交点は,第1象限にあるから
\begin{align*}
&\tan\theta=1 \\[4pt]
&\theta=\dfrac{\pi}{4}
\end{align*}
このとき
\begin{align*}
&x=\dfrac{1}{\cos\dfrac{\pi}{4}}=\sqrt{2} \\[4pt]
&y=\tan\dfrac{\pi}{4}=1
\end{align*}
となるから,求める交点の座標は $(\sqrt{2},~1)$
ヒロ
ヒロ

$C_2$ の方程式 $x^2-y^2=1$ を求めて,$C_1$ の方程式と連立することで,$x,~y$ を求めても良い。

ヒロ
ヒロ

(2)は双曲線の接線の方程式の公式を利用しよう。

【(2)の解答】
$C_2$ の方程式は $x^2-y^2=1$ となるから,点$(\sqrt{2},~1)$ における接線の方程式は
\begin{align*}
&\sqrt{2}x-y=1 \\[4pt]
&y=\sqrt{2}x-1
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(3)は,回転させる図形がどんなものかを把握しよう。

【(3)の解答】
$C_1$ と $C_2$ で囲まれた原点を含まない図形は図の斜線部分である。
2019年 群馬大 双曲線と円の共通部分 回転体の体積
$C_1:x^2+y^2=3$ より,$x^2=3-y^2$
$C_2:x^2-y^2=1$ より,$x^2=y^2+1$
よって,求める体積 $V$ は
\begin{align*}
V&=\dint{-1}{1}\pi\{(3-y^2)-(y^2+1)\}\;dy \\[4pt]
&=2\pi\dint{0}{1}(-2y^2+2)\;dy \\[4pt]
&=2\pi\Tint{-\dfrac{2}{3}y^3+2y}{0}{1} \\[4pt]
&=2\pi\left(-\dfrac{2}{3}+2\right) \\[4pt]
&=\dfrac{8}{3}\pi
\end{align*}

双曲線の性質についてのまとめ

ヒロ
ヒロ

双曲線のグラフ・焦点・極方程式・媒介変数表示・接線の方程式ついて,まとめると次のようになる。

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$
  1. グラフ
    双曲線 焦点 漸近線
  2. 焦点の座標
    \begin{align*}
    \mathrm{F}(0,~\sqrt{a^2+b^2}),~\mathrm{F}'(0,~-\sqrt{a^2+b^2})
    \end{align*}
  3. 極方程式
    \begin{align*}
    r=\dfrac{l}{1-\varepsilon \cos\theta}
    \end{align*}
    ここで $\varepsilon$ と $l$ は
    \begin{align*}
    \varepsilon=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a},~l=\dfrac{b^2}{a}
    \end{align*}
    で定められる定数であり,$\varepsilon$ は離心率と呼ばれる。
  4. 媒介変数表示
    \begin{align*}
    x=\dfrac{a}{\cos\theta},~~y=b\tan\theta
    \end{align*}
  5. 媒介変数表示 その2
    \begin{align*}
    x=\dfrac{a}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right),~~y=\dfrac{b}{2}\left(t-\dfrac{1}{t}\right)
    \end{align*}
  6. 接線の方程式
    \begin{align*}
    \dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=1
    \end{align*}
$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$
  1. グラフ
    双曲線 焦点 漸近線
  2. 焦点の座標
    \begin{align*}
    \mathrm{F}(0,~\sqrt{a^2+b^2}),~\mathrm{F}'(0,~-\sqrt{a^2+b^2})
    \end{align*}
  3. 極方程式
    \begin{align*}
    r=\dfrac{l}{1-\varepsilon \cos\theta}
    \end{align*}
    ここで $\varepsilon$ と $l$ は
    \begin{align*}
    \varepsilon=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a},~l=\dfrac{a^2}{b}
    \end{align*}
    で定められる定数であり,$\varepsilon$ は離心率と呼ばれる。
  4. 媒介変数表示
    \begin{align*}
    x=a\tan\theta,~~y=\dfrac{b}{\cos\theta}
    \end{align*}
  5. 媒介変数表示 その2
    \begin{align*}
    x=\dfrac{a}{2}\left(t-\dfrac{1}{t}\right),~~y=\dfrac{b}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right)
    \end{align*}
  6. 接線の方程式
    \begin{align*}
    \dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=-1
    \end{align*}
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