大学入試で出題される証明問題って嫌いな人が多いのではないでしょうか？そしてその理由は，何をすれば良いのか分からないからではないでしょうか？
大学入試で出題される証明問題を分類すると，大きく4つのパターンに分類されます。
どのように4つのパターンに分類されるかと，それぞれの難易度を知ることによって，証明問題を見たときに何を考えるかが分かるようになります。
ここでは数ある証明問題の中でも，有名な証明問題を扱って説明します。
1972年 京都大学実数または複素数の $x,~y,~z,~a$ について，
$x+y+z=a,~x^3+y^3+z^3=a^3$
の２式が成立するとき，$x,~y,~z$ のうち少なくとも１つは $a$ に等しいことを示せ。
$x+y+z=a,~x^3+y^3+z^3=a^3$
の２式が成立するとき，$x,~y,~z$ のうち少なくとも１つは $a$ に等しいことを示せ。
ヒロ
とりあえず，考えてみよう！
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Contents
- ページ1
- 1 証明問題の主な４つのパターン
- ページ2
- 1 問題を簡単化する
- ページ3
- 1 公式を応用する
- ページ4
- 1 ３文字の対称式
- ページ5
- 1 与えられた条件をうまく使って証明しよう
- 2 まとめ
証明問題の主な４つのパターン
こういう問題って，何をどうすれば良いかさっぱり分かりません。
ヒロ
一般的に，証明問題は「ある条件 $A$ が成り立つときに，$B$ という事柄が成り立つことを示せ。」という形になっていて，これを「$A \longrightarrow B$」と表すことにする。そして，$A$ と $B$ は数式か文章のどちらかで書かれている。これを基に証明問題を分類すると大きく４つに分けることができる。
証明問題の主な４つのパターン
- 数式 $\longrightarrow$ 数式
- 文章 $\longrightarrow$ 数式
- 数式 $\longrightarrow$ 文章
- 文章 $\longrightarrow$ 文章
並んでる順番には何か意味はあるんですか？
ヒロ
番号順に難易度が上がると思ってもらって構わない。一般的に，結論の部分(矢印の先)が文章で表されている方が，難しく感じるからね。
それが何をすれば良いか分からなくなる原因なんですね！
ヒロ
だから，最初にするべきことは，「文章で表された内容を数式で表すこと」になる。
ということは，今回は「$\,x,~y,~z$ のうち少なくとも１つは $a$ に等しい」を数式で表すことを最初に考えるんですね！
ヒロ
その通り！まずはゴールがどのような数式で表せるかをしっかり考えよう。